Le Scienze - 11.2019

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Illustrazione di Brook VanDevelder

si potessero ricavare tutte le verità matematiche. Il lavoro svolto

da Kurt Gödel negli anni trenta, tuttavia, viene spesso interpreta-

to come una dimostrazione che ridurre tutto ad assiomi in questo

modo sia impossibile. Innanzitutto, Gödel dimostrò che qualsia-

si candidato ragionevole al ruolo di sistema di assiomi sarà incom-

pleto: esistono enunciati matematici che il sistema non potrà né

dimostrare né confutare. Ma il colpo più devastante arrivò con il

secondo teorema di Gödel sull’incompletezza della matematica.

Qualsiasi sistema fondamentale di assiomi dovrebbe essere coe-

rente – cioè privo di affermazioni che possano essere sia dimostra-

te sia confutate (la matematica sarebbe molto meno soddisfacente

se potessimo dimostrare che 7 è primo e anche che 7 non è primo)

• e anche in grado di dimostrare, cioè garantire matematicamente,
  la propria coerenza. Il secondo teorema di Gödel afferma che que-
  sto è impossibile.
  La ricerca dei fondamenti della matematica portò all’incredibi-
  le scoperta di un sistema di assiomi basilari, noto come teoria de-
  gli insiemi di Zermelo-Fraenkel, da cui si può ricavare la maggior
  parte della matematica interessante e significativa. Questi assio-
  mi, che partono appunto dal concetto di insieme, non sono il fon-
  damento idealizzato in cui avevano sperato nel corso della storia
  alcuni matematici e filosofi, ma sono straordinariamente semplici
  e sono alla base della maggior parte della matematica.
  Nel corso del Novecento i matematici hanno discusso sulla pos-
  sibilità di ampliare la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con
  una regola aggiuntiva, il cosiddetto assioma della scelta: se abbia-
  mo un numero infinito di insiemi di oggetti, è possibile formare
  un nuovo insieme scegliendo un oggetto da ognuno degli insiemi.
  Immaginiamo una fila di secchi, ognuno dei quali contiene alcune
  palline, e un secchio vuoto. Da ogni secchio nella fila possiamo sce-
  gliere una pallina e metterla nel secchio vuoto. L’assioma della scel-
  ta ci permetterebbe di farlo anche con una fila infinita di secchi.
  Non solo ha verosimiglianza intuitiva, ma è necessario per di-
  mostrare diversi enunciati matematici utili e desiderabili. Ha pe-
  rò come conseguenza anche alcune cose strane, come il parados-
  so di Banach-Tarski, secondo cui si può dividere una sfera solida
  in cinque pezzi e riassemblarli in due nuove sfere, ognuna delle
  quali di dimensioni uguali alla prima. In altre parole, è possibile
  raddoppiare la sfera. Gli assiomi si giudicano in base alle strutture
  che producono, e l’assioma della scelta ha come conseguenza mol-
  te affermazioni importanti, ma si porta dietro anche un bagaglio
  aggiuntivo. Senza l’assioma della scelta, sembra che la matemati-
  ca rimanga priva di alcuni fatti cruciali, ma con questo assioma in-
  clude enunciati strani e potenzialmente indesiderati.

dimostrazioni. Tutto si basa sui presupposti alla base delle dimo-

strazioni; molte delle domande difficili dal punto di vista filosofico

su verità e realtà matematiche riguardano proprio questo punto

di partenza. Ci poniamo quindi la domanda: da dove provengono

questi oggetti e queste idee fondamentali?

Spesso l’imperativo è l’utilità. Abbiamo bisogno per esempio

dei numeri, in modo da poter contare (cose come i capi di bestia-

me), e degli oggetti geometrici come i rettangoli, per esempio per

misurare le aree dei campi. A volte il motivo è estetico: quanto è

interessante o attraente la storia che otteniamo? Modificando i

presupposti iniziali a volte si sbloccano strutture e teorie estesissi-

me e se ne precludono altre. Per esempio potremmo inventare un

nuovo sistema di aritmetica in cui decidiamo che un numero ne-

gativo moltiplicato per un numero negativo dà ancora un numero

negativo (rendendo la vita più facile ai poveri insegnanti di mate-

matica), ma poi molte altre proprietà intuitive e desiderabili del-

la retta numerica sparirebbero. I matematici giudicano gli ogget-

ti fondamentali (come i numeri negativi) e le loro proprietà (come

il risultato della loro moltiplicazione) nel contesto di un paesaggio

matematico più ampio e coerente. Prima di dimostrare un nuovo

teorema, quindi, un matematico deve guardare come si svolgerà

la pièce. Solo a quel punto il teorico sa che cosa dimostrare: la con-

clusione inevitabile e immutabile. Così il processo di «fare mate-

matica» ha tre fasi: invenzione, scoperta e dimostrazione.

Invenzione

I personaggi della commedia sono quasi sempre costruiti da

oggetti più semplici. Per esempio una circonferenza è definita co-

me l’insieme dei punti equidistanti da un punto centrale. Quindi la

sua definizione si basa su quella del punto, un tipo di oggetto più

semplice, e sulla distanza tra due punti, una proprietà di questi og-

getti più semplici. Allo stesso modo, la moltiplicazione è un’addi-

zione iterata, e l’elevazione a potenza è una moltiplicazione di un

numero per sé stesso ripetuta varie volte. Quindi le proprietà delle

potenze sono ereditate da quelle della moltiplicazione. All’inver-

so, possiamo indagare oggetti matematici complicati studiando gli

oggetti più semplici in termini dei quali sono definiti. Questo ha

portato alcuni matematici e filosofi a considerare la matematica

come una piramide rovesciata, con molti oggetti e idee complicati

dedotti a partire da una base ristretta di concetti semplici.

Tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo un gruppo di matema-

tici e filosofi cominciò a chiedersi che cosa sorregge questa pesan-

te piramide della matematica. Si preoccupavano seriamente che la

matematica potesse non avere fondamenta, che la verità di fatti co-

me 1 + 1 = 2 non si basasse su nulla. (Un insieme ossessivo di perso-

naggi, molti dei quali lottarono con la malattia mentale). Dopo cin-

quant’anni di affanni, l’ampio progetto non è riuscito a produrre

una singola risposta unificante che soddisfi tutti gli obiettivi origi-

nari, ma ha generato nuove branche di matematica e filosofia.

Alcuni matematici speravano di risolvere la crisi dei fondamen-

ti costruendo un insieme relativamente semplice di assiomi da cui

Kelsey Houston-Edwards è professoressa associata

di matematica all’Olin College of Engineering. Ha scritto

e condotto Infinite Series di PBS ed è stata AAAS Mass

Media Fellow a «NOVA Next».

I matematici tendono ad avere

contemporaneamente due opinioni

incompatibili degli oggetti che

studiano.

I numeri primi, per esempio,

hanno tra loro relazioni sorprendenti

che i matematici stanno ancora

scoprendo.

Le indagini di quello che sembra un

paesaggio alieno incoraggiano l’idea

che gli oggetti matematici esistano

indipendentemente dagli esseri

umani.

Se gli oggetti matematici sono

reali, tuttavia, perché non li si può

toccare, vedere o interagirci in

altro modo? Domande di questo

tipo portano spesso i matematici a

postulare che in realtà il mondo degli

oggetti matematici sia fittizio.

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