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fiche e culturali, in genere concordiamo tutti sui fatti matematici:
fanno tutti riferimento agli stessi oggetti fissi.
Ci sono però importanti obiezioni al realismo. Se gli oggetti ma-
tematici esistono davvero, hanno certamente proprietà molto pe-
culiari. Per cominciare, sono inerti dal punto di vista causale, nel
senso che non possono essere la causa di nulla, e quindi non è pos-
sibile interagirci letteralmente. Questo è un problema, perché in
genere quello che sappiamo di un oggetto ci giunge tramite i suoi
effetti. I dinosauri si decomposero lasciando ossa che i paleontolo-
gi possono vedere e toccare; un pianeta può passare davanti a una
stella, occultandone la luce. Un cerchio invece è un oggetto astrat-
to, indipendente dallo spazio e dal tempo. Il fatto che / sia il rap-
porto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio non riguar-
da una lattina o una ciambella; si riferisce a un cerchio matematico
astratto, in cui le distanze sono esatte e i punti sono infinitamente
piccoli. Un cerchio così perfetto è inerte dal punto di vista causale
e apparentemente inaccessibile. Come possiamo apprendere qual-
cosa in proposito senza qualche sesto senso?
È questo il problema del realismo: non riesce a spiegare come
conosciamo i fatti sugli oggetti matematici astratti. Tutto ciò po-
trebbe indurre un matematico ad arretrare da una posizione ti-
picamente realista e ad aggrapparsi al primo passo del processo
matematico: l’invenzione. Definendo la matematica come un eser-
cizio mentale puramente formale oppure come una finzione com-
pleta, l’antirealismo evita facilmente i problemi epistemologici.
Il formalismo, un tipo di antirealismo, è una posizione filosofica
che afferma che la matematica è come un gioco e che i matematici
si limitano a giocare seguendo le regole. Dichiarare che 7 è un nu-
mero primo è come affermare che il cavallo è l’unico pezzo degli
scacchi che si muove a L. Un’altra posizione filosofica, il finzioni-
smo, afferma che gli oggetti matematici sono finzioni. Dichiarare
che 7 è un numero primo è quindi come affermare che gli unicor-
ni sono bianchi. La matematica ha senso nel suo universo immagi-
nario, ma non ha alcun significato reale al di fuori.
Qualche compromesso è inevitabile. Se la matematica è in-
ventata, come mai è una parte così necessaria della scienza? Dal-
la meccanica quantistica ai modelli dell’ecologia, la matematica
è uno strumento scientifico generale e preciso. Gli scienziati non
pensano che le particelle si muovano secondo le regole degli scac-
chi o che una crepa in un piatto imiti il percorso di Hänsel e Gretel:
il peso della descrizione scientifica è portato esclusivamente dalla
matematica, il che la distingue da altri giochi o finzioni.
In fin dei conti, questi problemi non influiscono sulla pratica
della matematica. I matematici sono liberi di scegliere come in-
terpretare la propria professione. In L’esperienza matematica
(Edizioni di Comunità, 1985), Philip Davis e Reuben Hersh hanno
scritto che «il tipico matematico di professione è un platonista nei
giorni feriali e un formalista la domenica». Incanalando tutti i di-
saccordi in un processo preciso – che comprende sia l’invenzione
sia la scoperta – i matematici sono incredibilmente efficienti nel
produrre un’unanimità nella loro disciplina. QRegolarità e prove aiutano i matematici a orientarsi tra le sco-
perte matematiche e a decidere che cosa dimostrare, ma possono
anche essere ingannevoli. Per esempio, costruiamo questa succes-
sione di numeri: 121, 1211, 12111, 121111, 1211111 e così via. Formuliamo
ora una congettura: nessuno dei numeri della successione è primo.
È facile avere prove a favore di questa congettura. Osserviamo che
121 non è primo, perché 121 = 11 × 11; similmente, nessuno fra 1211,
12111 e 121111 è primo. Questo fatto va avanti per un bel po’, probabil-
mente abbastanza perché ci si annoi di controllare, ma all’improv-
viso non funziona più. L’elemento 136 della successione (cioè il nu-
mero 12111... 111, dove il «2» è seguito da 136 cifre «1») è primo.
Si potrebbe pensare che i computer possano contribuire a risol-
vere questo problema permettendoci di verificare la congettura
su più numeri della successione. Ci sono però esempi di regolarità
matematiche che valgono per i primi 10^42 elementi di una succes-
sione e poi vengono meno. Addirittura con tutta la potenza di cal-
colo del mondo, non potremmo mai controllare tanti numeri.
Ciò nonostante, la fase di scoperta del processo matematico è
estremamente importante. Rivela connessioni nascoste come la
congettura di Goldbach; spesso due rami distinti della matematica
sono stati studiati approfonditamente in modo separato prima che
si scoprisse una relazione profonda tra di essi. Un esempio sempli-
ce è l’identità di Eulero, ei/ + 1 = 0, che collega la costante geome-
trica / con il numero i, definito algebricamente come radice qua-
drata di –1, attraverso il numero e, la base dei logaritmi naturali.
Queste scoperte fanno parte della bellezza e della curiosità della
matematica. Sembrano indicare una struttura profonda al di sotto
di tutto che i matematici stanno appena iniziando a capire.
È in questo senso che la matematica dà l’impressione di essere
al contempo inventata e scoperta. Gli oggetti di studio sono defi-
niti con precisione, ma assumono una vita propria, rivelando una
complessità inaspettata. Pare quindi che il processo matematico
richieda che i suoi oggetti siano contemporaneamente visti come
reali e inventati, come oggetti con proprietà concrete, individua-
bili e come invenzioni della mente facilmente manipolabili. Come
scrive la filosofa Penelope Maddy, tuttavia, la dualità non fa alcuna
differenza sul modo in cui i lavorano matematici, «purché sia ac-
cettabile il bispensiero».
Reale o irreale?
Il realismo matematico è la posizione filosofica che sembra va-
lere nella fase della scoperta: gli oggetti dello studio matematico
- dalle circonferenze e dai numeri primi alle matrici e alle varie-
tà – sono reali ed esistono indipendentemente dalle menti umane.
Come un astronauta che esplora un pianeta lontano o un paleonto-
logo che studia i dinosauri, il matematico ottiene risultati su entità
reali. Dimostrare che la congettura di Goldbach è vera, per esem-
pio, significa appurare che i numeri pari e i numeri primi sono cor-
relati in un certo modo attraverso l’addizione, come un paleonto-
logo potrebbe mostrare che un tipo di dinosauro discende da un
altro osservando che le loro strutture anatomiche sono correlate.
Il realismo nelle sue varie manifestazioni, tra cui il platonismo
(ispirato alla teoria delle idee di Platone), rende facilmente com-
prensibile l’universalità e l’utilità della matematica. Un oggetto
matematico ha una certa proprietà, come per il 7 l’essere nume-
ro primo, nello stesso modo in cui un dinosauro avrebbe potuto
avere la proprietà di volare. E un teorema matematico, come il fat-
to che la somma di due numeri pari è pari, è vero perché i nume-
ri pari esistono davvero e si trovano in una certa relazione tra loro.
Questo spiega perché, al di là delle differenze temporali, geogra-
Logicomix. Doxiadis A. e Papadimitriou C.H., disegni di Papadatos A., colori
di Di Donna A.,Guanda, Milano, 2010; Le Scienze, Roma, 2017.
Where Proof, Evidence and Imagination Intersect. Honner P., in «Quanta
Magazine», pubblicato on line il 14 marzo 2019.
Why Isn’t 1 a Prime Number? Lamb E., in ScientificAmerican.com, pubblicato
on line il 2 aprile 2019.PER APPROFONDIRE