Matemática 9 – Caderno de Preparação para o Exame Nacional

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Sistemas de duas equações do 1.º grau

com duas incógnitas

Exercícios resolvidos

1. Um grupo de 20 crianças foi ao circo. Na tabela ao lado,
   podes observar o preço dos bilhetes, em euros.

Na compra dos 20 bilhetes, gastaram 235 €.

Quantas crianças daquele grupo tinham mais de 10 anos de idade? Apresenta todos os cálculos que
efetuares.
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2005 — 1.ª chamada
Resolução:

1. Designa-se por:

• û o número de crianças até 10 anos;


• y o número de crianças com mais de 10 anos.

O facto de serem 20 crianças pode ser traduzido pela equação û + y = 20.

O facto de os bilhetes terem custado 235 euros pode ser traduzido pela equação 10û + 15 y = 235.

Obtém-se, assim, um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas:

20

10 15 235

û

û

y

y

+=

+=

* + 20

û

y û

10 15 y 235

=

+=

* -

+

û 20

û

û

y

10 15 235

= 20

+=

• _ - i

* +

• 
  

20

10 30015 235

û

ûû

y =-

+-=

) + û

ûû

y 20

10 15 235 300

=-

-=-

) + û

û

y 20

565

=-

-=-

) +

• 
  

û

û

y 20

5

65

=-

=

• 
  

* - +

û

û

y 20

13

=-

=

) + 20 13

û

y

13

=-

=

) +

û

y 7

13

=

=

)

Conclui-se que o grupo era composto por 7 crianças com mais de 10 anos.

2. Considera o seguinte sistema de equações:

û 3

û

y

y 2 2

-=

=-

*

Qual é o par ordenado (û, y ) que é solução deste sistema? Mostra como obtiveste a tua resposta.
Exame Nacional do 3.º Ciclo, 2007 — 1.ª chamada

Resolução:

2. Resolve-se o sistema pelo método de substituição:

û

û

y

y

3

2 2

-=

=-

* +

û

y û

y

2

2

= 3

=-

+

* +

3

3

û

y

y

y

2

2

=

=-

+

* +^ +^

()## 22 ()

û y

yy

3

2

3

1

2

1

=+

=

+

* -^ +

• 
  

û y

yy

3

23 4

=+

=+-

* + û y

yy

3

234

=+

-=-

* + û y

y

3

1

=+

=-

* + û

y

3

1

=+ 1

=-

_-i

* +

û

y

2

1

=

=-

*

Conclui-se que o par ordenado (û; y ) que é solução deste sistema é (2; -1).

Idade Preço (por bilhete)

10 €

15 €

Até 10 anos (inclusive)

Mais de 10 anos