Spektrum der Wissenschaft - 05.2019

vor – und das, obwohl die Hall-Spannung von der Elektro-

nendichte einer Probe abhängen sollte. Seine Ergebnisse

ließen sich dagegen ausschließlich auf Naturkonstanten

zurückführen. Diese erstaunliche Eigenschaft nutzt man

inzwischen, um den elektrischen Widerstand zu definieren.

Zwei Jahre nach der unerwarteten Entdeckung fand der

britische Physiker David Thouless mit seinen Kollegen

Mahito Kohmoto, Peter Nightingale und Marcel den Nijs

eine Erklärung für das sonderbare Verhalten der Elektronen:

Anders als in gewöhnlichen Festkörpern diktieren Gesetze

aus dem abstrakten Gebiet der Topologie das Verhalten der

Teilchen in Quanten-Hall-Systemen.

Die Topologie stammt aus der Mathematik und dient der

Klassifizierung geometrischer Körper. Dabei gelten zwei

Objekte als gleich, wenn sie sich kontinuierlich ineinander

umformen lassen. Es ist, als würde man einen Teig kneten,

ohne Löcher in diesen zu reißen. Daher sind ein rundes

Brötchen und ein längliches Baguette topologisch gesehen

gleich, während ein Donut einer anderen Kategorie ange-

hört. Topologen ordnen jeder Klasse eine »Invariante« zu,

welche die unveränderlichen Eigenschaften der Objekte

widerspiegelt. Für zweidimensionale Oberflächen ist eine

solche Invariante beispielsweise die Anzahl ihrer Löcher.

In der Quantenmechanik gibt es etwas Vergleichbares.

Stellt man sich die möglichen Zustände eines Teilchens als

Punkte in einem Raum vor, dann verändert das Magnetfeld

diesen Raum. Es ist, als würde es ihn krümmen. Dadurch

beeinflusst es in von Klitzings Experiment die Geschwindig-

keit und die Ausbreitungsrichtung der Elektronen in der

Halbleiterstruktur. Diese Analogie zu geometrischen Objek-

ten machten sich Thouless und seine Kollegen zu Nutze.

Topologen klassifizieren nämlich nicht bloß Oberflächen,

sondern auch abstrakte Objekte. Deshalb konnten die vier

theoretischen Physiker den Wellenfunktionen im Quanten-

Hall-System eine topologische Invariante namens Chern-

Zahl zuordnen, die einer Lochzahl für geometrische Ober-

flächen ähnelt. Sie bewiesen, dass die Hall-Spannung in

von Klitzings Experiment umgekehrt proportional zu dieser

Invarianten ist, die genau wie eine Lochzahl nur ganzzahlige

Werte annimmt (siehe Bild links).

Als der deutsche Forscher während seines Experiments

die Stärke des Magnetfelds immer weiter erhöhte, beob-

achtete er ein ruckartiges Wachstum des Hall-Widerstands,

also des Verhältnisses aus Hall-Spannung und senkrecht

dazu angelegtem Strom. An bestimmten Schwellenwerten

veränderte das äußere Feld das Verhalten der Elektronen so

stark, dass die Chern-Zahl des Systems auf den nächsten

ganzzahligen Wert hüpfte. So wie eine extreme Krümmung

irgendwann ein Loch in eine geometrische Oberfläche reißt,

kann auch ein sehr starkes Magnetfeld die topologische

Invariante eines abstrakten Raums ändern.

Die Topologie erklärt außerdem die bemerkenswerte

Stabilität des seltsamen Quanteneffekts. Ähnlich wie das

Kneten einer Teigmasse zwar die geometrische Form eines

Gebäcks ändert, aber keine Löcher erzeugt, können Verun-

reinigungen eines MOSFETs der Chern-Zahl nichts anhaben.

Die Unvollkommenheit der Probe verformt die Wellenfunk-

tionen, ohne dabei die gesamte Topologie zu ändern.

Eine neue Materialklasse ist geboren

Die Erkenntnisse von Thouless und seinen Kollegen sollten

die Festkörperphysik revolutionieren. Doch bevor sich Wis-

senschaftler des Ausmaßes dieser Entdeckung bewusst

wurden, vergingen etwa zwei Jahrzehnte. Anfangs hielt man

den Quanten-Hall-Effekt für einen Spezialfall, der nur unter

besonderen Bedingungen auftritt. Als unausweichliche

Voraussetzung galt insbesondere die zweidimensionale

Struktur der MOSFETs, die Elektronen in eine Ebene zwingt.

Wenig später bewiesen Forscher auch mathematisch, dass

es im Allgemeinen keinen Quanten-Hall-Effekt in drei Di-

mensionen geben kann.

Um das Jahr 2000 fanden zwei Teams aus theoretischen

Physikern allerdings unabhängig voneinander heraus,

dass eine ähnliche Form des Quanten-Hall-Effekts in vier

Dimensionen auftreten könnte. Jürg Fröhlich und seine

Kollegen von der ETH Zürich sowie die Gruppe von Shou-

cheng Zhang von der Stanford University berechneten,

dass das bizarre quantenmechanische Phänomen nicht wie

bisher angenommen bloß auf zweidimensionale Systeme

beschränkt ist.

AUF EINEN BLICK

VIERDIMENSIONALER

QUANTEN-HALL-EFFEKT

1

Anders als die meisten anderen Quantenphänomene

taucht der Quanten-Hall-Effekt unabhängig von

mikroskopischen Details in Festkörpern auf.

2

Lange galt er als Spezialfall: In ein- oder dreidimen-

sionalen Materialien kann er nicht entstehen. Theo-

retischen Berechnungen zufolge könnte es den

exotischen Effekt aber in vier Dimensionen geben.

3

Zwei Forschergruppen haben nun unabhängig von-

einander jeweils ein charakteristisches Merkmal

des vierdimensionalen Quanten-Hall-Effekts im Labor

untersucht und dadurch seine Existenz bestätigt.

Dreht man die Schraube einer Archimedes-

Pumpe, bewegt sich das Wasser entlang

des Pfeils nach oben. So kann man es von

einem tiefer liegenden Becken in ein

höheres be fördern.

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