Spektrum der Wissenschaft - 06.2019

Spektrum der Wissenschaft 6.19 13

AUF EINEN BLICK

TROPISCHE GEOMETRIE

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In diesem jungen Forschungsgebiet ersetzt man

die Addition zweier Zahlen durch den größten beider

Werte und die Multiplikation durch ihre Summe.

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Dadurch vereinfachen sich komplizierte Oberflächen

zu tropischen Kurven, die sich aus mehreren Linien-

segmenten zusammensetzen.

3

Trotz der massiven Veränderungen behalten die tropi-

schen Kurven viele Eigenschaften der ursprünglichen

Objekte bei, was neue Blicke auf alte mathematische

Probleme ermöglicht.

Die tropische Geometrie ist ein weiteres Beispiel für

einen zielführenden Umweg. Sie entstand in den

1980er Jahren und ist inzwischen zu einem aktiven For-

schungsfeld herangewachsen, das auch andere mathe-

matische Bereiche beeinflusst. Einer der größten Nutz-

nießer dieser Entwicklung ist die algebraische Geometrie.

Wie Mathematiker feststellten, kann es sich in diesem

Gebiet lohnen, einen Schlenker über die tropische Geomet-

rie zu machen. Denn einige Eigenschaften algebraischer

Kurven lassen sich im tropischen Teil einfacher berechnen.

Um das nachzuvollziehen, muss man zuerst algebraische

Kurven verstehen. Sie bestehen aus einer Menge von

Punkten (x, y), die eine so genannte polynomiale Gleichung

lösen, zum Beispiel F(x, y) = axy3 + bx 2 y + cx + dy + f = 0.

Die Punkte x und y können dabei nicht bloß reelle, sondern

auch komplexe Werte annehmen, also imaginäre Zahlen

enthalten. In solchen Fällen besteht jede Variable x = a + ib

aus zwei reellen Koordinaten a und b und der imaginären

Einheit i, die der Wurzel aus minus eins entspricht. Die

ursprüngliche Gleichung F(x, y) = 0 hängt also von insge-

samt vier reellen Koordinaten ab und spaltet sich in zwei

unabhängige Teile auf: in einen Realteil ohne i und einen

Imaginärteil mit i. Die entsprechende geometrische Figur ist

dann streng genommen keine Kurve mehr, sondern eine

Oberfläche im vierdimensionalen Raum.

Das mag abstrakt klingen, doch Mathematiker haben

verschiedene Methoden entwickelt, um diese Objekte zu

untersuchen. Allerdings stoßen sie dabei häufig an ihre

Grenzen. Denn die algebraische Geometrie hat sich in

vielen Punkten als äußerst schwierig entpuppt.

In den 1990er Jahren hatten die Forscher Israel Gelfand

an der Rutgers University in New Jersey, Mikhail Kapra-

nov, damals an der Northwestern University in Illinois,

und Andrei Zelewinsky an der Northeastern University in

Links: Der rot markierte Bereich in der Ebene ist die »Amö­

be« der komplexen Geradengleichung x + y = 1. Ihr Skelett

(blau) entspricht der tropischen Kurve. Sie ist durch alle

Punkte (u, v) gegeben, für die mindestens zwei der Argu­

mente u, v und 0 maximal sind. Unten: Indem man die

Basis des Logarithmus (hier für x + y = 1) vergrößert, zieht

sich die Amöbe immer weiter zusammen. Für den Grenz­

fall, bei dem die Basis gegen unendlich geht, bleibt nur

noch ihr Skelett übrig.

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ANTOINE CHAMBERT-LOIR

u = log |x|

v = log |y|

v = log (eu + 1)

v = log (1 – eu)

v = log (eu – 1)