Spektrum der Wissenschaft - 06.2019

Spektrum der Wissenschaft 6.19 19

AUF EINEN BLICK

DAS UNGLEICHE SPIEGELBILD

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Stringtheoretiker fanden in den 1980er Jahren heraus,

dass zwei völlig unterschied liche geometrische Objek-

te miteinander zusammenhängen.

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Noch heute versuchen Mathematiker herauszufinden,

was hinter dieser unerwarteten »Spiegelsymmetrie«

steckt.

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Inzwischen sind immer mehr Forscher davon über-

zeugt, dass die tropische Geometrie die mysteriöse

Übereinstimmung erklärt.

Allerdings funktioniert die spekulative Theorie nur, wenn

die Welt, die sie beschreibt, neun Raumdimensionen be-

sitzt. Das widerspricht unserem Verständnis des Univer-

sums, in dem wir nur drei wahrnehmen. Ein Ausweg be-

steht darin, anzunehmen, dass die überschüssigen Dimen-

sionen an jedem Punkt unserer Raumzeit ganz klein

aufgerollt (kompaktifiziert) sind, so dass wir sie nicht be-

merken. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, zu

welcher sechsdimensionalen Form, einer so genannten

Mannigfaltigkeit, sie kompaktifiziert sein könnten. Je nach-

dem, ob die Strings in einer sechsdimensionalen »Kugel-

oberfläche« oder einem »Donut« hin- und herschwingen,

ergeben sich daraus völlig andere physikalische Gesetze.

Stringtheoretiker gehen davon aus, dass sich unsere

Welt bloß reproduzieren lässt, wenn die überschüssigen

Dimensionen auf ganz bestimmte Weise aufgerollt sind: zu

so genannten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Allerdings gibt

es unendlich viele davon, die sich zum Teil stark voneinan-

der unterscheiden. Herauszufinden, welche dieser unge-

wöhnlichen sechsdimensionalen »Oberflächen« unsere

Naturgesetze passend beschreibt, gehört zu den schwie-

rigsten Aufgaben der Stringtheorie. Denn die extrem kom-

plizierten geometrischen Gebilde bereiten selbst Mathema-

tikern Kopfschmerzen.

Verschiedene Versionen unserer Welt

Die Situation ist allerdings noch verzwickter: Es gibt nicht

nur eine Art von Stringtheorie, die unsere Welt beschreiben

könnte, sondern sogar fünf, die sich durch ihre Symmetrien

unterscheiden. Zunächst schienen die verschiedenen

Versionen nichts miteinander zu tun zu haben. Doch als

Ende der 1980er Jahre der Physiker Wolfgang Lerche,

damals am California Institute of Technology in Pasadena,

mit seinen Kollegen die »Typ-IIA«-Stringtheorie mit einer

bestimmten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit studierte, stellte er

fest, dass die »Typ-IIB«-Stringtheorie für eine vollkommen

andere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit die gleichen Resultate

lieferte. Die Physiker konnten ihren Augen kaum trauen. Sie

spielten das Szenario für verschiedene Kompaktifizierungen

durch und stießen immer wieder auf das gleiche Ergebnis.

Offenbar haben die auf den ersten Blick grundverschiede-

nen geometrischen Gebilde mehr Gemeinsamkeiten als

gedacht.

Diese mysteriöse Entdeckung nannten die Physiker

fortan Spiegelsymmetrie, da sie jeder Calabi-Yau-Mannigfal-

tigkeit X einen »Spiegel« Y zuordnet. Das überraschende

dabei ist, dass sich X und Y kein bisschen ähneln: Selbst

wenn man die extrem grobe Einordnung von Topologen

nutzt, die Figuren unabhängig ihrer genauen Form bloß

nach der Anzahl ihrer Löcher kategorisieren (für sie sind ein

Donut und eine Tasse identisch), unterscheiden sich die

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten drastisch. Zum Beispiel könn-

te X zwei Löcher haben, während Y kein einziges besitzt.

Dass beide Objekte zu der gleichen Physik führen, ist, als

würde man einen Fußballspieler beobachten, der mit einem

Ball genauso gut herumhantiert wie mit einem viereckigen

Betonklotz.

Für Physiker war diese Übereinstimmung von Anfang an

ein Segen. Denn einige hochkomplizierte Probleme der

Typ-IIA-Stringtheorie fallen im Spiegel deutlich einfacher

aus – und machen eine Berechnung oft überhaupt erst

möglich. Das äußert sich insbesondere in einem vereinfach-

ten Modell der Stringtheorie, der so genannten topologi-

schen Stringtheorie. Physiker ziehen sie heran, um sonst

unergründliche Eigenschaften der vollständigen Theorie zu

untersuchen. Denn auch wenn die vereinfachte Variante

nicht unsere echte Welt widerspiegelt, teilt sie dennoch

einige Merkmale mit der gewöhnlichen Stringtheorie.

Statt fünf gibt es nur zwei verschiedene Versionen der

topologischen Stringtheorie – das A- und das B-Modell.

Glücklicherweise existiert auch im vereinfachten Modell

eine Spiegelsymmetrie: Zu jedem A-Modell mit einer Calabi-

Yau-Mannigfaltigkeit X gibt es ein dazu äquivalentes B-Mo-

dell mit einer anderen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit Y.

IVANMOLLOV / GETTY IMAGES / ISTOCK