Spektrum der Wissenschaft - 07.2019

sprünglichen besteht. Für die Penrose-Pflasterungen lässt

sich diese Substitution am einfachsten an den Dreiecken

darstellen, aus denen sich die Rauten einerseits sowie Pfeil

und Drachen andererseits zusammensetzen (siehe Bild d,

S. 82 links). Bemerkenswerterweise wird in einem ersten

Substitutionsschritt aus einem Pfeil-und-Drachen-Parkett

ein Rautenparkett, und im nächsten Schritt geschieht das

Umgekehrte.

Dass es für ein Sortiment von Steinen überhaupt eine

Substitution gibt, ist alles andere als selbstverständlich.

Aber es kommt in erstaunlich vielen Fällen vor; Dirk Frettlöh

von der Universität Bielefeld unterhält dazu eine umfangrei-

che Internet-Sammlung (http://tilings.math.uni-bielefeld.de/

substitution). Und mit einer Substitution hat man ein mäch-

tiges Mittel zur Erzeugung beliebig großer Pflasterungen an

der Hand.

Man beginnt mit einem kleinen Stück Parkett, zum Bei-

spiel einem einzelnen Stein, und macht daraus durch Anwen-

dung der Substitutionsregel ein Stück aus mehreren kleinen

Steinen. Dieses vergrößert man, bis die kleinen Steine auf die

Größe der ursprünglichen herangewachsen sind (»Inflation«

im Sinn von Aufblasen). Bei Bedarf schiebt und dreht man es

so zurecht, dass das alte Parkettstück mit einem Teil des

neuen zur Deckung kommt. Im Endeffekt hat man dadurch

an das alte Stück ein paar neue Steine angebaut.

Diesen Prozess aus Substitution und Inflation kann man

nun beliebig oft wiederholen, wodurch das Parkettstück

MIT FRDL. GEN. VON ULI GAENSHIRT

Ein steinernes Flechtmuster aus Kayseri (Anatolien)

enthält neben langen geknickten Linien auch regel-

mäßige Fünfecke. Uli Gaenshirt hat eine Fortsetzung

dieses Musters konstruiert, indem er die Rauten

des Penrose- Parketts mit geeigneter Musterung versah.

Bemer kenswerterweise sind in der dünnen Raute

nicht nur ein Anteil vom regelmäßigen Fünfeck zu

finden, son dern auch Linien, die den Ammann-Linien

recht nahekommen.

MIT FRDL. GEN. VON ULI GAENSHIRT

MIT FRDL. GEN. VON ULI GAENSHIRT

Aus der dünnen Raute der Penrose-Pflasterung

entsteht ein langes Sechseck, aus der dicken

eine Form namens »boat«, die an ein Papier-

schiffchen erinnert (unten). Rechts: Rund um

das Zentrum C liegen vier gedachte Zehnecke,

an deren Eckpunkten sich je ein Fünfeck befin-

det (helle Punkte). In starkem Kontrast zu die-

ser Symmetrie nehmen die »Fäden« des Flecht-

werks völlig chaotisch erscheinende Wege.

C