risque non diversifiable est linéairement liée au taux de rendement exigé à
l’équilibre. Le principe selon lequel au risque le plus faible doit correspondre
le rendement espéré le plus faible n’est pas toujours respecté si le risque
est mesuré par l’écart type. Seul le coefficient beta, mesure appropriée du
risque d’un titre individuel respecte toujours cette loi financière.
Deuxièmement, l’équation du CAPM fait observer que la mesure du risque
pour les titres individuels est linéairement additive lorsque ces titres sont in-
clus dans des portefeuilles :
Le coefficient beta βp d’un portefeuille p combinaison entre le titres i avec un
risque systématique βi et le titre j avec un risque systématique βj, dans des
proportions ωi et ωj , est simplement égal à la moyenne pondérée des betas
des titres le constituant :
βp=ωiβi+ωjβj
La justification d’un tel résultat découle de la définition même de la cova-
riance et des propriétés de la moyenne et de la variance. Par définition, le
coefficient beta d’un portefeuille p est donné par :
βp=
E(ωiri+ωjrj−ωiμi−ωjμj)(rM−μM)
σM^2Après réarrangement des termes il vient que :
βp=
E(ωiri−ωiμi)(rM−μM)
σM^2+E(ωjrj−ωjμj)(rM−μM)
σM^2Le fait que le coefficient beta d’un portefeuille soit une combinaison linéaire-
ment pondérée par les betas des titres le constituant est un résultat extrême-
ment important puisqu’il suffirait de calculer les betas des titres pour obtenir
le risque systématique d’un portefeuille sans qu’il soit nécessaire de passer
par la résolution du programme quadratique donnant la frontière efficiente.