σq^2 =ωi^2 σi^2 +ωp^2 σp^2 + 2 ωiωpσip
σq^2 ′ =(ωi+Δωi)^2 σi^2 +ωp^2 σp^2 + (^2) (ωi+Δωi)ωpσip
Δσq^2 = σq^2 ′ −σq^2 = 2 ωiΔωiσi^2 +(Δωi)^2 σi^2 + 2 Δωiωpσip
On divise par Δωi
Δσq^2
Δωi
= 2 ωiσi^2 +Δωiσi^2 + 2 ωpσip
Pour des variations infinitésimales de ωi, la valeur de Δωiσi^2 est très faible et
peut donc être négligeable.
Δσq^2
Δωi
≃ 2 ωiσi^2 + 2 ωpσip
La variance marginale du titre i dans le portefeuille initial caractérisé par
ωi= 0 et ωp= 1 est donnée par
dσq^2
dωi
= 2 σip. L’effet marginal d’une variation
de la proportion investie dans le titre i inclut dans le portefeuille p sur la va-
riance du portefeuille dépend de la covariance entre les rendements du titre
i et du portefeuille p.
D’où l’on déduit la condition d’optimalité d’un portefeuille. Un portefeuille
est dit optimal si tous les titres constituant ce portefeuille présentent le
même rendement espéré marginal pour un niveau donné de variance margi-
nale ou la même variance marginale pour un même niveau de rendement
marginal espéré donné. Si le portefeuille est optimal, alors tous les titres doi-
vent se situer sur une même ligne droite dans le plan rendement espéré, va-
riance marginale et la pente de cette droite est positive.