Gestion de Portefeuille et Applications

ωi= k^1
i

Ei(RMe)

Vari(RMe)

Ei(RMe) et Vari(RMe) représentent les anticipation perçues par l’investisseur i.

Si tous les investisseurs dispose de la m^me richesse initiale alors la somme des ωi doit
être égale à l’unité puisque l’offre nette de l’actif sans risque est égale à zéro. Pour un nom-
bre d’investisseur égal à n, la moyenne est égale à :

ω=^1 n

n

∑i= 1

1

ki

Ei(RMe)

Vari(RMe) Ceci est une condition d’équilibre.

Le problème d’investissement multi-périodique basé sur la consommation suppose que
l'investisseur tire son utilité de la consommation de chaque période et que l’utilité dans
chaque période est additivement séparable de l’utilité dans d’autres périodes. Ainsi si l’in-
vestisseur planifie sa consommation sur deux périodes, il choisit le montant à investir dans
différents actifs qui maximise l’utilité espérée :

maxU(C 1 )+ρE 1 U(C 2 ) s.c.

C 1 +I 1 =W 1

C 2 +I 2 =( 1 +Rp)I 1 +y 2 avec

Rp=ωiRie+ωjRje+Rf

Dans la fonction objectif, Ct est la consommation à la période t. La période courante est la
période 1 pendant laquelle le portefeuille est choisi. Les anticipation des investisseurs sont
basés sur l’information disponible à la période 1. La constante ρ est le facteur d’actualisa-
tion, avec 0 <ρ< 1 indiquant l'impatience des intervenants. la première contrainte repré-
sente la contrainte du budget pour la période 1. W 1 est la richesse initiale au début de la
période 1, composée de la consommation C 1 et l’investissement I 1. La deuxième con-
trainte est la contrainte budgétaire de la période 2. la consommation et l'investissement de
la période 2 doivent être égaux à la richesse en début de la période 2 plus un revenu exo-
gène, y 2. la richesse au début de la période 2 est égale à l’investissement de la période 1,
I 1 multiplié par la rentabilité globale du portefeuille qui à on tour dépend des poids du por-