tefeuille ωi et ωj choisis durant lé période 1 ainsi que des rendements des actifs détenus
de la période 1 jusqu’à la période 2.
On se propose dans e qui suit de déterminer le niveau d’investissement optimal.
Pour un horizon de deux périodes l’investissement dans la période 2, I 2 est un gaspillage.
on utilise la contrainte du budget et le fait que I 2 = 0 pour substituer C 1 et C 2 dans la fonc-
tion objectif. On obtient :
maxU(W 1 −I 1 )+ρE 1 U(( 1 +Rp)I 1 +y (^2) )
La condition de premier ordre pour I 1 s’obtient par la dérivée de la fonction objectif par rap-
port à I 1 égale à zéro.
−U′ (^) (C 1 )+ρE (^1) (U′ (^) (C 2 )( 1 +Rp))= 0
U′ (^) (Ct) est l’utilité marginale à la période t. Cette expression montre que le plan de consom-
mation doit être organisé de telle sorte que la perte marginale de l’utilité de la consomma-
tion C 1 décroissante due à l’investissement est égale à la valeur actuelle de l’espérance du
gain marginal de l’utilité de la consommation C 2 croissante multipliée par la rentabilité glo-
bale de l’investissement.
On peut réécrire cette expression sous la forme suivante :
E (^1) [
ρU′ (^) (C 2 )
U′ (^) (C 1 ) (
1 +Rp)]= 1
Pour une fonction d’utilité logarithmique de la forme U(C)=log(C), l’utilité marginale
U′ (C)= C^1 et la solution optimale s’écrit comme suit :
E (^1) [ρCC^1
2 (
1 +Rp)]= 1
Pour une fonction d’utilité CRRA de la forme U(C)= C
1 −γ
1 −γ, l’utilité marginale est
U′ (C)=C−γ et la solution optimale devient :