Gestion de Portefeuille et Applications

les conditions de premier ordre avec cette équation E (^1) [
ρU′ (^) (C 2 )
U′ (^) (C 1 ) (^1 +Rp)]=^1 , on peut
éventuellement trouver une solution pour les variables de décision I 1 , ωi, ωj. Le problème
n’admet pas de solution explicite mais une solution numérique pourrait être envisageable.
On cherche à faire apparaître E(xy)= 0 sait que cov(x,y)=E(xy)−E(x)×E(y) ou
cov(x,y)−E(xy)+E(x)×E(y)= 0 ceci implique que E(y)=
cov(−x,y)
E(x)
Les conditions de premier ordre s’écrivent comme E (^1) (U′ (^) (C 2 )Rie)= 0 , on peut utiliser la re-
lation précédente pour déduire que :
E(Rie)=
cov(−U′ (^) (C 2 ),Rie)
E(U′ (^) (C 2 ))
Cette expression permet de dire qu’à l’équilibre l’actif i aura une prime de risque ( rende-
ment en excès) élevée si son rendement est négativement corrélé avec l’utilité marginale.
L’utilité marginale de la consommation est décroissante (fonction d’utilité concave), ceci
implique que les rendements des actifs sont d’autant plus élevés que la consommation est
élevé, c’est le cas des actifs pro-cycliques ou actifs considérés comme risqués qui procu-
rent d’importantes prime de risques. Les actifs pro-cycliques sont risqués et procurent par
conséquents des rendements espérés élevés
L’application des approximation de Taylor de premier ordre à l’utilité marginale U′( C) au-
tour de C est :
U′ (C)≈U′ (^) (C)+U′′ (^) (C)(C−C)
On utilise cette approximation pour U′ (^) (C 2 ), la covariance cov(−U′ (^) (C 2 ),Rie) peut se ré-
écrire comme suit : cov(−U′ (^) (C 2 ),Rie)≈Acov(C 2 ,Rie) avec A=−U′′ (^) (C 2 ) qui est une cons-
tante positive puisque la fonction d’utilité est concave.
On peut retrouver l’équation du CAPM à partir du modèle basé sur la consommation, il suf-
fit pour cela de supposer que l’utilité marginale est une fonction affine du rendement du
marché en excès :
U′ (^) (C 2 )=a−bRMe avev b> 0