Gestion de Portefeuille et Applications

Problème #3 :

Travail demandé :

On cherche à déterminer le portefeuille optimal pour un investisseur dont les
préférences sont décrites par une fonction d’utilité moyenne variance. Le
marché est supposé composé de deux titres risqués et d’un actif sûr. Pour
les besoins de l’application numérique on choisira les valeurs suivantes :

μ 1 = 15 % , σ 1 = 24 %, μ 2 = 26 % σ 2 = 37 %, ρ 12 = 0.8 , rf = 5 %, k = 2

Discuter la solution optimale en fonction du coefficient d’aversion au risque
k et du taux sûr rf. Déterminer le portefeuille de tangence et le portefeuille

optimal.

Solution :

On commence par représenter la fonction d’utilité de l’investisseur, il s’agit
bien d’une fonction d’utilité de type moyenne variance :

U(RP)= RP−^1
k

[RP−E(RP)]^2

L’investisseur cherche à maximiser l’espérance mathématique de l’utilité :

EU(Rp)= E(Rp)−

1

k

E[Rp−E(Rp)]^2 ou encore EU(Rp)= μp−

1

k

σp^2

max[EU(Rp)= μp−

k

2

σp^2 avec. μp=θ 1 μ 1 e+θ 2 μ 2 e+rf ,

σp^2 =θ 12 σ 12 +θ 22 σ 22 + 2 θ 1 θ 2 σ 12 et θ 3 = 1 −θ 1 −θ 2.

On remplace μp et σp^2 par leurs valeurs respectives dans l’expression de la

fonction objectif, EU(Rp) :