L’expression de la frontière efficiente d’actifs risqués se présente toujours
en termes de σp^2 ou σp en fonction de μp. On écrit, ω 2 = 1 −ω 1 ,
μp= ω 1 μ 1 +( 1 −ω 1 )μ 2 σp^2 =ω 12 σ 12 +ω 22 σ 22 + 2 ω 1 ω 2 σ 12. O n p e u t é c r i r e :
ω 1 =
μp−μ 2
μ 1 −μ 2et calculer par la suite :ω 12 =^1
(μ 1 −μ 2 )
2 (μ
p^2 +μ 22 −^2 μ 2 μp
)ω 22 =( 1 −ω)^2 =
1
(μ 1 −μ 2 )2 (μ
p^2 +μ 12 −^2 μ 1 μp
)ω( 1 −ω) =^1
(μ 1 −μ 2 )
2 (μ
p^2 +μ 1 μp+μ 2 μp−^2 μ 1 μ 2
)On remplace dans σp^2 et on met en facteur les μp on obteint :
σp^2 =Aμp^2 +Bμp+C
avec : A=
σ 12 +σ 22 − 2 σ 12
(μ 1 −μ 2 )2 , B=2 μ 2 σ 12 + 2 μ 2 σ 12 − 2 μ 2 σ 12 − 2 μ 1 σ 22
(μ 1 −μ 2 )2 ,C=
μ 22 σ 12 +μ 12 σ 22 − 2 μ 1 μ 2 σ 12
(μ 1 −μ 2 )2On obtient l’équation de la frontière efficiente suivante :
σp^2 =4,33μp^2 −1,055μp+0,118
Pour trouver le portefeuille à risque minimum on procède ainsi :
∂σp^2
∂μp= 0 = 2 AμP+B