μp= 0,8461σp−0,0531 ⇔ σp =1,1819μp+0,0628
La frontière efficiente prend la forme d’une ligne droite.
Cas de corrélation parfaite négative : ρ=− 1
σp=[ω 12 σ 12 +( 1 −ω 1 )^2 σ 22 − 2 ω 1 ( 1 −ω 1 )σ 1 σ (^2) ]
1 / 2
σp=[(ω 1 σ 1 −( 1 −ω 1 )σ (^2) )
2
]
1 / 2
= ω 1 σ 1 −( 1 −ω 1 )σ 2
si (.) ≥ 0 ou
σp=[(ω 1 σ 1 −( 1 −ω 1 )σ (^2) )
2
]
1 / 2
= −ω 1 σ 1 +( 1 −ω 1 )σ 2
(.) ⩽ 0
On aura donc deux solutions pour ω 1 :
ω 1 =
σp+σ 2
σ 1 +σ 2
ou ω 1 =
σ 2 −σp
σ 1 +σ 2
En remplaçant les ω par leurs valeurs, on obtient :
μp= (
μ 1 −μ 2
σ 1 +σ 2 )
σp+
μ 2 σ 1 +μ 1 σ 2
σ 1 +σ 2
μp= −0,1803σp+0,1933 ⇔ σp=−5,5463μp+1,0721
ou
μp= (
μ 2 −μ 1
σ 1 +σ 2 )
σp+
μ 2 σ 1 +μ 1 σ 2
σ 1 +σ 2
μp= 0,1803σp+0,1933 ⇔ σp= 5,5463μp−1,0721