(
ω 1
ω 2 ) =1
σ 12 σ 22 −σ 122 (σ 12 −σ 12
−σ 12 σ 22 )(λ(μ 1
μ 2 )+δ(1
1 ))Les deux dernières conditions peuvent s’écrire comme suit
(
μ*
1 )=(μ 1 μ 2
1 1 )(ω 1
ω 2 )On remplace (
ω 1
ω 2 ) par sa valeur pour trouver les expressions de (λ
δ) :(
μ*
1 )=(μ 1 μ 2
1 1 )(σ 12 σ 12
σ 12 σ 22 )− 1(λ(μ 1
μ 2 )+δ(1
1 ))Ceci peut se réécrire (voir chapitre 1) comme suit :
(
λ
δ) =(A B
B C)− 1
(μP*
1 )avec A=μ′Ω −^1 μ , B= μ′Ω −^1 핀 , C =핀′Ω −^1 핀
λ =
CμP*−B
AC−B^2et δ=A−BμP*
AC−B^2On remplace les valeurs de λ et δ dans l’équation donnant ω ,
ω =Ω−^1 (λμ+δ핀)
Pour obtenir la solution optimale en l’absence d’actifs sûrs : ω =Ω−^1 Q
avec Q donnée par l’expression : Q =μλ+핀δ =
μ(CμP*−B)+핀(A−BμP*)
AC−B^2- L’écriture matricielle de la solution générale permet facilement gé-
néraliser la solution optimale au cas de plusieurs titres, le reste
est une question de dimensions de matrices.
A=μ′Ω −^1 μ , B=μ′Ω −^1 핀 , C= 핀′Ω −^1 핀