δL
δω 1=ω 1 σ 12 +ω 2 σ 12 −λμ 1 e = 0δL
δω 2=ω 2 σ 22 +ω 2 σ 12 −λμ 22 = 0δL
δλ= μ*−ω 1 μ 1 e−ω 2 μ 2 e−rf = 0Les deux premières équations peuvent s’écrire comme suit :
(
σ 12 σ 12
σ 12 σ 22 )(ω 1
ω 2 )−λ(μ 1 e
μ 2 e) =(0
0 )^ ⇔^ (ω 1
ω 2 )=(σ 12 σ 12
σ 12 σ 22 )− 1
λ(μ 1 e
μ 2 e)En écriture matricielle ceci donne : ω =Ω−^1 λμe
On cherche ensuite avec la troisième équation des conditions de premier or-
dre la valeur de ω : δL
δλ
=μ*−ω 1 μ 1 e−ω 2 μ 2 e−rf = 0En notations notations matricielles cela s’écrit comme : μ*=ω′μ e+rf
Pour trouver λ on remplace ω′ par sa valeur dans l’expression donnant ω :
μ=(Ω−^1 λμe)′^ μe+rf ⇔ μ=λ(μe)′^ Ω−^1 μe+rf ⇔ λ=
μ*−rf(μe)′ (^) Ω− (^1) μe
On remplace λ par sa valeur dans l’expression de ω, il vient que :
ω =
μ−rf
(μe)
′ (^) Ω− (^1) μeΩ
− (^1) μe , σp (^2) =ω′Ω ω et μp=ω′μ (^) P
présence d’actif sans risque les poids optimaux sont donnés par
ω =
μP−rf
(μe)′Ω −^1 μe
Ω−^1 μe. On remplace ω par sa valeur dans l’équation de la va-
riance. :