σP^2 =
(μP*−rf
(μe)′^ Ω−^1 μeΩ−^1 μe
)′
Ω
(μ*P −rf
(μe)′Ω −^1 μeΩ−^1 μe
)σP^2 =
(μP*−rf
(μe)′^ Ω−^1 μe)2
(μe)′ (^) Ω− (^1) ΩΩ− (^1) μe d’où σ 2
P=
(μP−rf)^2
((μe)′Ω^ −^1 μe)
Dans la mesure où (μe)′Ω −^1 μe =Ω−^1 μe(μe)′ et Ω−^1 est égale à sa transpo-
sée. On pose (μe)′Ω −^1 μe=Ae et on prend la racine carrée puisque l’on tra-
vaille avec des quantités positives. σP=
μP−rf
[(μe)′^ Ω−^1 μe]
1 / 2 .En général pour les
portefeuilles efficients, on vérifie effectivement que : μP= rf + AeσP , avec
Ae =((μe)′Ω −^1 μe)^1 /^2
On remarque qu’en présence d’un actif sans risque, la frontière efficiente
se transforme en une ligne droit d’ordonnée à l’origine rf et de pente
∂μP
∂σP
= Ae.
Pour l’application numérique, on prendra comme valeurs :
μ 1 = 15 % σ 1 = 24 %, μ 2 = 26 % σ 2 = 37 %, μ*= 18 % ρ 12 = 0.8, rf = 5 %
La solution optimale avec les données ci-dessus, permet de détenir un por-
tefeuille avec un rendement μpe= 13 %et une volatilité mesurée par l’écart
type de σp= 22,77%. Ce portefeuille étant structuré comme suit :
ω 1 = −17,27%, ω 2 =70,12% et ω 3 =47,13%. La valeur de λ qui représente la
prime de risque attendue ajustée par le risque est positive, elle est de
λ =39,88%. Toutes choses égales par ailleurs, on remarque que la pré-
sence d’un actif sûr permet de d’améliorer la qualité de la solution optimale.
En effet, pour le même niveau de rendement, on obtient un portefeuille avec
un risque plus faible, on passe de σp=26,24%à σp =22,77%. Pour atteindre
ce résultat, la solution optimale donne une structure du portefeuille complè-