Gestion de Portefeuille et Applications

la frontière efficiente a pour équation :

σP^2 =

C

AC−B^2

μP*^2 − 2

B

AC−B^2

μP*+

A

AC−B^2

L’équation de la tangente au point T s’écrit :

∂μT

∂σT

=

∂μT

∂σT^2

∂σT^2

∂σT

=

∂σT^2

∂σT

∂σT^2

∂μT

=

2 σT

2.μTC−2.B

AC−B^2

Au point de tangence les deux courbes frontières, ont la même pente:

μT = rf +

∂μT

∂σT

σT. On remplace

∂μT

∂σT

et σT^2 par leur valeur dans l’expression

donnant μT :

μT−

2 σT

2 μTC− 2 B

AC−B^2

σT = rf ⇔ μT−

(^2) (ACC−B 2 μT^2 − (^2) ACB−B 2 μT+ ACA−B (^2) )
2 μTC− 2 B
AC−B^2
= rf ⇔
μT−
2 CμT^2 − 4 BμT+ 2 A
2 μTC− 2 B
= rf. Après simplification et réarrangement, on ob-
tient la formule qui permet de calculer l’espérance de rendement du porte-
feuille de tangence
μT =
Brf −A
rfC−B
et σT^2 = C
AC−B^2
μT^2 − 2 B
AC−B^2
μT+ A
AC−B^2
La frontière efficiente en présence d’actif sans risque tout comme la fron-
tière efficiente en l’absence d’actif sans risque représentent toutes les deux
la solution optimale d’un programme d’optimisation quadratique qui mini-
mise la variance d’un portefeuille pour un niveau d’espérance de rendement
désiré. Les portefeuilles qui sont très proches ou sur la frontière représen-
tent la meilleure offre possible du marché selon la règle espérance variance.
Les individus, en fonction de leurs préférences vis-à-vis du risque vont choi-
sir un portefeuille parmi l’ensemble des portefeuilles efficients.