Gestion de Portefeuille et Applications

ω 2 = mω 1 +n avec m =

μ 3 −μ 1

μ 2 −μ 3

et n =

μp−μ 3

μ 2 −μ 3

On procède ensuite à la détermination de l’équation des courbes d’isova-
riance :

σp^2 =ω 12 σ 22 +ω 22 σ 22 +ω 32 σ 32 + 2 ω 1 ω 2 σ 12 + 2 ω 1 ω 3 σ 13 + 2 ω 2 ω 3 σ 23

σp^2 =ω 12 σ 22 +ω 22 σ 22 +( 1 −ω 1 −ω 2 )^2 σ 32 + 2 ω 1 ω 2 σ 12

• 2 ω 1 ( 1 −ω 1 −ω 2 )σ 13 + 2 ω 2 ( 1 −ω 1 −ω 2 )σ 23

Cette équation peut se mettre sous la forme générale :

σp^2 =aω 12 +bω 1 ω 2 +cω 22 +dω 1 +eω 2 +f

avec a=σ 12 +σ 32 − 2 σ 13 , b= 2 σ 12 + 2 σ 32 − 2 σ 13 − 2 σ 23 , c =σ 22 +σ 32 − 2 σ 23 ,

d= − 2 σ 32 + 2 σ 13 , e =− 2 σ 32 + 2 σ 23 , f =σ 32

Pour déterminer l’équation de la ligne critique, on égalise les pentes des iso-
rendements et des isovariances. La pente des isorendements est donnée di-
rectement par :

δω 2

δω 1

=

μ 3 −μ 1

μ 2 −μ 3

et la pente des courbes d’isovariance s’obtient par le calcul

du gradient : δσp^2 =

δσp^2

δω 1

dω 1 +

δσp^2

δω 2

dω 2 = 0

δσp^2

δω 1

δσp^2

δω 2

=−

dω 2

dω 1

= −

2 aω 1 +bω 2 +d

2 cω 2 +bω 1 +e

. On égalise les deux pentes pour obtenir :

2 aω 1 +bω 2 +d

2 cω 2 +bω 1 +e

=m