Gestion de Portefeuille et Applications

Les portefeuilles efficients dans

le plan des proportions

On se propose dans ce qui suit de déterminer l’ensemble des portefeuilles
efficients dans le plan des proportions. On commencera par l’étude d’un pre-
mier cas particulier d’un portefeuille constitué de deux titres risqués avec
une corrélation nulle entre les rendements. On considère donc un porte-
feuille composé de deux titres risqués avec les ω 1 pour le titre 1 et ω 2 pour
le titre 2. Les caractéristiques financières de ce portefeuille peuvent s’écrire
comme suit :

μp= ω 1 μ 1 +ω 2 μ 2 , σp^2 = ω 12 σ 12 +ω 22 σ 22 , ω 1 +ω 2 = 1

On commence par déterminer les équations qui décrivent les droites d’iso-
rendement, les courbes d’isovariance et la ligne critique. L’équation du ren-
dement espéré peut se réécrire comme suit :

ω 2 =

μp

μ 2

−ω 1

μ 1

μ 2

. Cette expression représente l’équation des droites d’isoren-

dement. Pour chaque valeur de μp on obtient une droite de pente fixe égale

à

μ 1

μ 2

. Le résultat est une série de droite parallèle de même pente et d’ordon-

née à l’origine μp.

L’équation de la variance peut aussi se réécrire comme suit : 1 =

ω 12

Q 12

+

ω 22

Q 22

avec Q 1 =

σp

σ 1

et Q 2 =

σp

σ 2

. Cette expression est l’équation des courbe d’isova-

riance. Pour chaque valeur de μp on obtient une ellipse de centre fixe égal à

l’origine des axes (0,0). Le résultat et une série d’ellipses concentriques. La