Gestion de Portefeuille et Applications

ligne ou la droite critique est le lieu géométrique de tous les points de tan-
gence entre les droites d’isorendement et les courbes d’isovariance. Cette
droite coupe aussi la contrainte budgétaire d’équation ω 2 = 1 −ω 1. La ligne
critique s’obtient donc par l’égalité des pentes. On cherche la pente des
droites d’isorendement : μp= ω 1 μ 1 +ω 2 μ 2. On peut alors exprimer la façon

dont varie l’espérance de rendement du portefeuille si à la fois le poids du
titre 1 et le poids du titre 2 sont changés. On procède au développement li-
mité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction par
rapport aux deux variables. On exprime la variation d'une fonction de plu-
sieurs paramètres est on précise le fait que la fonction va varier le plus dans
la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout change-
ment des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient:

δμp=

δμp

δω 1

dω 1 +

δμp

δω 2

dω 2 = 0.

δμp

δω 1

dω 1 =−

δμp

δω 2

dω 2 ⇔

δμp

δω 1

dω 1 =−

δμp

δω 2

dω 2 ⇔

δμp

δω 1

δμp

δω 2

=−

dω 2

dω 1

=

μ 1

μ 2

Pour calculer la pente des courbes d’isovariance on procède de la même
manière que précédemment : σp^2 =ω 22 σ 22 +ω 22 σ 22

δσp^2 =

δσp^2

δω 1

dω 1 +

δσp^2

δω 2

dω 2 = 0

δσp^2

δω 1

dω 1 =−

δσp^2

δω 2

dω 2 ⇔

δσp^2

δω 1

δσp^2

δω 2

= −

dω 2

dω 1

=

2 ω 1 σ 12

2 ω 2 σ 22

L’égalité des deux pentes donne l’équation de la ligne critique :

μ 1

μ 2

=

2 ω 1 σ 12

2 ω 2 σ 22

⇔ ω 2 =ω 1

μ 2 σ 12

μ 1 σ 22