δω 2
δω 1=μ 3 −μ 1
μ 2 −μ 3et la pente des courbes d’isovariance s’obtient par le calculdu gradient : δσp^2 =
δσp^2
δω 1dω 1 +δσp^2
δω 2dω 2 = 0δσp^2
δω 1
δσp^2
δω 2=−dω 2
dω 1= −2 aω 1 +bω 2 +d
2 cω 2 +bω 1 +e. On égalise les deux pentes pour obtenir :
2 aω 1 +bω 2 +d
2 cω 2 +bω 1 +e=mAprès réarrangement des termes, on obtient l’équation de la droite critique
lieu géométrique des points de tangence entre les courbes d’isovariance et
les courbes d’isorendements : ω 2 =ω 12 a+mb
2 mc+b
+ d+me
2 mc+b. On peut aussi dé-
terminer l’expression qui donne le centre des ellipses concentriques et qui
correspond au portefeuille minimum variance en prenant le minimum de la
fonction variance qui ne peut être que 0.
σp^2 =aω 12 +bω 1 ω 2 +cω 22 +dω 1 +eω 2 +f
δσp^2
δω 1= 2 aω 1 +bω 2 +d= 0 etδσp^2
δω 2= 2 cω 2 +bω 1 +e = 0{
2 aω 1 +bω 2 = −d
2 cω 1 +bω 2 =−e^ Δ=2 a b
b 2 c =^4 ac−b2ω 1 =−d b
−e 2 c
Δ= −^2 dc+eb
4 ac−b^2, ω 2 =2 a −d
b −e
Δ= −^2 ae+bd
4 ac−b^2,ω 3 = 1 −ω 1 −ω 2