Gestion de Portefeuille et Applications

feuille VP^0 =

n

∑

i= 1

Vi^0

VP^0

.Vi^0. A t = 1 la valeur de ce même portefeuille devient

VP^1 =

n

∑i= 1

Vi^0

VP^0

.Vi^1. Le rendement du portefeuille pendant la période d’investis-

sement qui sépare les deux points du temps t = 0 et t = 1 , Δt = 1 dans le
cas unipériodique est ΔVP=VP^1 −VP^0. Le taux de rendement du portefeuille

sur la même période RP=

ΔVP

VP

. Le poids de chaque titre i dans le porte-

feuille P est noté par ωi=

Vi^0

VP^0

. Le taux de rendement du portefeuille

RP=

n

∑

i= 1

ωi.Ri avec Ri=

ΔVi

Vi

. Si Vi est assimilée à une variable aléatoire qui

suit une loi lognormale, alors Ri est assimilé à une variable aléatoire qui suit

une loi normale et RP à une loi multinormale puisqu’il est la somme de plu-
sieurs variables aléatoires normales.

On suppose que Ri suit une loi normale de moyenne μi et de variance σi^2 ,

Ri∼N(μi,σi^2 ). De même pour le rendement du portefeuille RP, RP∼ N(μP,σP^2 ).

RP=

n

∑

i= 1

ωi.Ri ceci implique que E(RP) =

n

∑

i= 1

ωi.E(Ri) ou encore μP=

n

∑

i= 1

ωi.μi.

On remarque que l’espérance du rendement d’un portefeuille est toujours
égale à la moyenne pondérée des espérances de rendements des titres qui
le constitue. Les poids étant les pondérations.

La variance des rendements du portefeuille P est donnée par l’expression :

Var(RP) =

n

∑i= 1

n

∑j= 1 ωi.ωj.Cov(Ri,Rj) ou σ

P^2 =

n

∑i= 1

n

∑j= 1 ωi.ωj.σij avec σij la cova-

riance entre les rendements des titres i et j. σii est la variance des rende-

ments du titre i et σi est son écart type. On remarque que la variance d’un

portefeuille n’est pas forcément égale à la moyenne des variances des titres
le constituants.