Gestion de Portefeuille et Applications

On calcule dans ce qui suit la corrélation entre deux portefeuilles risqués k
et i, situés sur la demi-droite issue de rf. Le portefeuille ou le titre i est in-

clus dans le portefeuille k.

μk =ωrfrf +ωiμi et σk =ωiσk et ρ 2 k=

σik

σiσk

σik=∑
i

∑

j

pij(ri−μi)(rj−μk)

Le titre i a un rendement ri avec une probabilité pi et le portefeuille k a un ren-
dement rj avec une probabilité pj.

σik=∑
i

∑

j

pij(ri−μi) (ωrfrf +ωiri)

rj

−(ωrfrf +ωiμi)

μk

σik=∑
i ∑j

pij(ri−μi)ωi(ri−μi)

σik=ωi∑
i

pi(ri−μi)^2 = ωiσi^2 d’où,

ρik=

σik

σiσk

=

ωiσi^2

∣ω 2 σ 22 ∣

=± 1

Ceci montre que la corrélation est parfaite et positive pour tous les porte-
feuilles risqués situés sur la demi-droite issue de rf.

Le risque de la combinaison entre un titre ou un portefeuille risqué avec l’ac-
tif sûr est proportionnel au montant investi dans le titre ou le portefeuille ris-
qué. C’est le cas par exemple d’un investisseur qui répartit ses avoirs entre
un portefeuille d’actifs risqués et un compte d’épargne. L’investissement
dans l’actif sûr est assimilé à un prêt d’argent. L’achat de bons du trésor par
exemple est assimilé à un prêt d’argent au gouvernement.