Rp=n
∑i= 1 ωiRi+(^1 −n
∑i= 1 ωi)rf qu’on peut écrire sous la forme,Rp=
n
∑i= 1 ωiR
ie+rfavec Rie= Ri−rf est rendement du titre i en excès par rapport au tauxsans risque et rf le taux sans risque.
Les conditions de premier ordre par rapport aux poids du portefeuille
sont :
∂EU(RP)
∂ωi= 0En général, il est possible de résoudre cette équation pour les poids du
portefeuille, si on connaît la forme fonctionnelle de la fonction d’utilité et la
forme de la distribution des rendements mais ceci est relativement compli-
qué. En effet la fonction d’utilité peut être non linéaire et le calcul de sa va-
leur espérée nécessitera des intégrations relativement complexes pouvant
nécessiter le recours à des méthodes numériques en cas d’absence de solu-
tion analytique. Dans certaines modélisations avancées en finance, on mon-
tre que la condition de premier ordre peut s’écrire comme suit :
∂EU(RP)
∂RiRie= 0. On sait que∂EU(RP)
∂ωi=E[∂U(RP)]
∂ωi.Pour montrer ceci, on considère une loterie avec deux rendements possi-
bles, RP− et RP+ avec les probabilités respectives π et 1 −π.
∂EU(RP)
∂RP=∂[π.URP−+( 1 −π).URP+]
∂RP=π∂URP−
∂RP+( 1 −π)∂URP+
∂RPOn applique la règle de Chain pour avoir :∂EU(RP)
∂ωi=E
[∂U(RP)
∂RP∂RP
∂ωi]On note que∂RP
∂ωi=Rie