Gestion de Portefeuille et Applications

L’objectif d’une stratégie de diversification étant la réduction du risque, on
peut alors se demander sur le structure du portefeuille qui minimise la va-
riance. Il s’agit donc de minimiser la variance pour un niveau de rendement
désiré μP* et sous la contrainte que la somme des poids est égale à 100 % de

la richesse allouée à l’investissement.

min[σP^2 ]= σP^2 =

n

∑i= 1

n

∑j= 1 ωiωjσij sous les contraintes du rendement requis

n

∑i= 1 ωi.μi= μP* et d’épuisement du budget

n

∑i= 1 ωi=^1. On résout ce pro-

gramme d’optimisation quadratique par la méthode de Lagrange. On écrit le
Lagrangien L,

L =

n

∑

i= 1

n

∑

j= 1

ωiωjσij+λ(μP*−

n

∑

i= 1

ωiμi)+δ( 1 −

n

∑

i= 1

ωi). Les conditions de premier

ordre sont :

∂L

∂ωi

= 0 =

n

∑i= 1

n

∑j= 1 ωjσij−λ

n

∑i= 1 μi−δ , i =^1 ...n

∂L

∂λ

= 0 =μP*−

n

∑i= 1 ωi.μi

∂L

∂δ

= 0 = 1 −

n

∑i= 1 ωi

La solution du programme de minimisation pour un niveau de rendement dé-
siré, donne la structure ou les poids du portefeuille qui présente le mini-
mum-variance. λ et δ sont les facteurs de Lagrange.

En notations matricielles ces conditions s’écrivent comme suit :

min[σP^2 ] =ω′Ω ω , sous les contraintes μ′ω =μ*p et 핀′ω = 1

avec 핀 le vecteur unitaire (toutes ses composantes prennent la valeur 1)