Ceci montre que sous les probabilités risque neutre l’espérance instantanée du rende-
ment de l’action par unité de temps Ef(rt) est égale au rendement de l’obligation
sans risque rf. En prenant le logarithme des deux cotés de l’équation, on obtient
rf =
1
tlogEf(St)
S 0. Or, le taux de rendement instantané de l’action contrairement à ce-
lui d’une obligation sans risque n’est pas déterministe. Il évolue au cours du temps de
manière stochastique. Si on enlève le membre droit de l’équation l’opérateur d’espé-
rance mathématique, le membre gauche doit aussi être aléatoire. Ceci n’est vrai que
lorsque rft est remplacé par une variable aléatoire. Cette variable représenterait le
taux de rendement de l’action sur l’intervalle de temps [0,t] et doit dépendre du
temps. On note cette variable aléatoire par yt et on remplace rft par yt.
eyt= 1 +
St−P
S 0=
St
S 0L’expression rft est une fonction linéaire du temps t, comment alors yt va dépendre
du temps? D’après l’équation eyt =
St
S 0on peut écrire que St= S 0 eyt et que par consé-quent les réalisations possibles du prix de l’action sont dans l’intervalle de temps
[0,∞). Ceci est consistent avec le fait que le prix de l’action ne peut prendre des va-
leurs négatives. S’il l’était, il aurait violé la règle selon laquelle la perte des actionnai-
res est limitée jusqu’à concurrence de leurs apports, mais il n'admet pas de borne su-
périeure. En effet, pour toutes les valeurs de yt, eyt est positif et temps vers zéro
quand yt tend vers moins l’infini.
On définit yt une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne μy et d’écart
type σy et z une variable aléatoire standard de moyenne μz = 0 et d’écart type σz= 1.
On peut écrire z =
y−μy
σyet pour chaque variable aléatoire z on a y = μy+σyz.Il en découle que eyt=eμyt+σytz=
St
S 0. yt , est supposé suivre une loi normale pour tout
t. Ceci implique que la dépendance de yt en fonction du temps peut être exprimée à
travers sa moyenne et sa variance. La valeur espérée de yt est μytt =μt et de variance