Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

σy^2 tt =σ^2 t. yt , dépend du temps uniquement à travers la longueur de l’intervalle [0,t].

Par conséquent les taux de rendement sur des intervalles de temps disjoints de même
longueur seront des variables aléatoires indépendamment et identiquement et distri-
buées. yt , ainsi défini est un processus stochastique. Un processus stochastique est
une famille de variables aléatoires indexées par un paramètre, le plus souvent le
temps. A chaque instant t, on a une variable aléatoire yt qui est le taux de rendement
continu du temps 0 au temps t. Le processus stochastique yt est appelé mouvement
Brownien ou parfois processus de Weiner. La définition d’un mouvement Brownien
stipule que σ = 1 et y 0 = 0 avec une probabilité égale à 1.

On assimile le taux de rendement de l’action yt à une variable aléatoire qui suit une
loi normale dont la fonction de densité avec les paramètres μ et σ comme espérance
du rendement et écart type en un point x est donnée par :

Φμ,σ(x) = e

−(x 2 −σμ 2 )^2

2 πσ^2

On rappelle que yt est supposé suivre une loi normale avec des paramètres qui dépen-
dent du temps , μt et σ^2 t. Il s’en suit que la fonction de densité de yt au point y s’écrit
comme suit :

Φμ,σ(y) =

e−

(y−μt)^2

2 σ^2 t

2 πσ^2 t