Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

La fonction de distribution normale cumulative d’une variable aléatoire X au point x
est définie comme la probabilité que X aurait une valeur inférieure ou égale à x. Ceci
n’est autre que la surface sous la courbe de −∞ jusqu’à x :

P(X≤ x) =∫

x

−∞

Φμ,σ(x)dυ= ∫

x

−∞

e−

(x−μ)^2

2 σ^2

2 πσ^2

dυ

La probabilité que la variable aléatoire X aura une valeur entre μt−σ t et

μt+σ t ou μt− 2 σ t et μt+ 2 σ t entre est donnée par la surface sous la courbe
entre les deux points y 0 et y 1 ou les deux points y 0 ′ et y 1 ′. Ces valeurs sont de 0,6827
est de 0,9546 respectivement. On sait en effet que la probabilité d’une variable aléa-
toire normale ayant une valeur entre deux écarts types au dessus de l’espérance ma-
thématique est de l’ordre de 0,95. Cette valeur est obtenue pour toutes les valeurs de
t, μ et σ. Cette probabilité ne dépend pas de ces paramètres. Par contre si on consi-

dère l’effet sur l’intervalle μt−σ t et μt+σ t quant t tend vers zéro, l’intervalle
tend aussi vers zéro mais la probabilité associée à l’intervalle reste la même puis-
qu’elle est indépendante du temps. Ainsi la vraisemblance que yt se rapproche de zé-
ro tend vers 1. Quand l’intervalle diminue les terminaisons des queues de la probabili-
té diminuent également. De plus l’essentiel de la masse de probabilité est concentré
autour e zéro. Quand t tend vers zéro, yt reste une variable aléatoire pour chaque va-
leur de t , et la limite de yt quand t tend vers zéro demeure toujours une variable aléa-
toire.

Plus l’intervalle de temps est grand plus la variance et l’espérance de yt seront élevées.
Celles-ci sont des fonctions linéaires croissantes de la longueur de l’intervalle du
temps [ 0 ,t]. Quand t augmente par un facteur égal à 2, l’espérance augmente par
le même facteur et le risque mesuré par la variance augmente aussi par un facteur

égal à 2. Il augmentera de 2 s’il est mesuré par l’écart type.

Comme c’est la cas pour le taux sûr, le rendement stochastique (aléatoire fonction du
temps) est additif à travers des intervalles de temps disjoints. Si yt est le rendement