sur l’intervalle [ 0 ,t] et yt 1 et yt 2 sont les rendements sur [ 0 ,t 1 ] et [t 1 ,t] respective-
ment alors yt= yt 1 +yt 2 pour tout t.
yt
0 t 1 t
yt 1 yt 2
On sait que la somme de deux variables aléatoires normales donne une variable aléa-
toire normale. De plus,
yt=yt 1 +yt 2
E(yt) =E(yt 1 )+E(yt 2 )
μ(t− 0 )=μ(t 1 − 0 )+μ(t−t 1 ) =μt
En fait, yt 1 et yt 2 sont indépendants puisque les deux périodes de temps sont indépen-
dantes, l’intervalle [t 1 ,t] aurait pu aussi être représenté par [ 0 ,t] avec 0 dans ceas est
égal à t 1 :
σ^2 (t− 0 ) =σ^2 (t 1 − 0 )+σ^2 (t−t 1 ) =σ^2 t
Il convient maintenant de faire la différence entre les probabilités risque neutre et les
probabilités réelles. Les premières sont artificielles et sont la conséquence de la condi-
tion de non arbitrage et les secondes sont des probabilités de la vie de tous les jours et
elles correspondent à celles du taux de rendement composé en continu. On montre
que yt est distribué selon une loi normale de moyenne μt et de variance σ^2 t et qu’on
note par :
yt∼N(μt,σ t)
Les moments d’ordre un et deux diffèrent selon qu’on utilise des probabilités risque
neutre ou des probabilités réelles :