Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On sait que :

St=S 0 eyt= S 0 eμt+σ tZ=S 0 eμteσ tZ

avec Z ∼N( 0 , 1 )

Cette relation montre que le taux de rendement de l’action est la somme d’une partie
déterministe et d’une partie stochastique. La partie déterministe est une fonction li-
néaire du temps comme c’est le cas avec l’actif sûr. La partie stochastique dépend du
temps via la racine carrée du temps. Quand t tend vers zéro μt se rapproche de zéro

avec une vitesse différente de celle de σ t. Si on observe le rendement et la volatilité

par unité de temps

μt

t

et

σ t

t

quand t se rapproche de zéro, on remarque que la pre-

mière expression est égale à μ et la deuxième expression diverge vers l’infini.

Si la vitesse de convergence de la moyenne est constante elle est égale à μ, la vitesse
de la volatilité n’est pas constante surtout pour des périodes de temps courtes moins
d’un an.