Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

2.La spécification d’une probabilité risque neutre à partir des facteurs d’actualisation
stochastiques

La probabilité risque neutre impose certaines conditions entre μ et σ qui sont l’espé-
rance et l’écart type par unité de temps de yt. On note la densité de probabilité ris-
que neutre par fQ, le facteur d’actualisation stochastique Ψt doit satisfaire la condi-

tion:

S 0 =e−rft∫

∞

0

SfQ(S)dS= ∫

∞

0

SΨt(S)dS

Le prix de l’action au temps t est St=S 0 eyt où S 0 est le prix de l’action au temps
t = 0 et yt le taux de rendement composé en continu sur la période [ 0 ,t]. La source
d’incertitude dans St provient de yt. La distribution de probabilité de St et celle de yt
sont reliées et l’une peut être déterminée en fonction de l’autre. yt est assimilé àune

variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre (yt ∼N(μt,σ t). L’espé-

rance mathématique de eyt sera alors :

Eeyt=eμt+σ

2

2 t= e(μ+

σ (^22) )t
On sait que si X suit une loi lognormale de moyenne μ et de variance σ^2 , Y=log(X)
suit une loin normale de moyenne μ et de variance σ^2. On voit qu’on peut écrire aus-
si X=eY et on dira que eY suit une loi lognormale. La fonction de densité de probabi-
lité d’une loi lognormale au point x s’écrit comme suit :
f(x;μ,σ)=

1

xσ 2 π

e−

(Ln 2 xσ− 2 μ)^2

et admet comme fonction de répartition :

F(x;μ,σ) =∫

+∞

0

1

xσ 2 π

e−

(Lnx−μ)^2

2 σ^2 dx