Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

tés réelle fS et la fonction de densité de probabilité risque neutre fQ vérifient ces deux

dernières équations. Il ressort que :

EQ(eyt) =∫

+∞

−∞

eytfQ(yt)dyt =erft

On sait d’autre part que dans un monde risque neutre :

yt∼NQ(μQt,σQ t) et EQeyt =e(

μQ+σ

(^2) Q
(^2) )t

. On en déduit que :

(

μQ+

σQ^2

(^2) )
t =rft
Si l’on suppose que σQ=σ il vient que :
μQ= rf −
σ^2
2
On vient de montrer qu’il est possible d’exprimer l’espérance sous les probabilités ris-
que neutre en fonction de paramètres réels qui sont rf et σ.
Dans un monde risque neutre yt suit une loi normale de paramètres :
yt∼N
(
rf−
σ^2
(^2) )
t,σ t
La fonction de densité prend alors la forme suivante :
Φμ,σ(yt)=^1
σ 2 πt
e−
(yt−(rf−0,5σ^2 )t)
2
2 σ^2 t
On calcule l’espérance de eyt :
EQ(eyt) =∫
+∞
−∞
eyt

1

σ 2 πt

e−

(yt−(rf−0,5σ^2 )t)

2

2 σ^2 t dyt= erft