Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

A=

(

1 0 0

0 1 0

0 0 1 )

est la matrice représentative des revenus associés aux trois actifs

purs Ai′ avec i= 1,2,3 contingents aux états de la nature Sj avec j =1,2,3.

W=

0,2 −0,2 0,

−0,4 0,3 −0,

0,2 −0,1 −0,

est la matrice des poids ωi des portefeuilles de réplica-

tion Wi avec i =1,2,3 correspondant à chacun des actifs purs.

V=

0,

0,

0,

est le vecteur des valeurs actuelles des actifs purs

Ce vecteur représente aussi les coûts des portefeuilles de réplication ou encore les
prix des états de la nature.

On peut aussi vérifier les résultats suivants :

W×P=V

0,2 −0,2 0,

−0,4 0,3 −0,

0,2 −0,1 −0,

×

30

52,

50

=

0,

0,

0,

et

X×W′ =A avec i =1,2,

25 45 55

30 55 55

40 65 55

×

0,2 −0,2 0,

−0,4 0,3 −0,

0,2 −0,1 −0,

=

(

1 0 0

0 1 0

0 0 1 )

On procède de la même manière pour évaluer par réplication n’importe quelle op-
tion d’investissement ayant des cash flows futurs contingents aux états de la nature.

Dans le cas général, l’évaluation par réplication d’une option d’investissement C avec
des cash flows Cj contingents à Sj état de la nature avec j =1,2,...,S se présente

comme suit :