Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Partant du fait que,

St

S 0

=eyt, ou de manière équivalente yt=log

(

St

S 0 )

, il est possi-

ble d’établir une relation entre les fonctions de répartition de St et de yt :

FSt(St)= Fyt
(

log

St

S 0 )

et par différentiation par rapport à St , on peut déduire une relation entre les fonc-
tions de densité :

fSt(S) =

fyt(logSS 0 )

S

La fonction de densité de probabilité risque neutre pour St

s’écrira comme suit :

Φμ,σ(St)=^1
Stσ 2 πt

e−

(logSt−logS^0 −(rf−0,5σ^2 )t)

2

2 σ^2 t

Pour déterminer l’expression donnant les facteurs d’actualisation stochastiques, il suf-
fit comme on l’à vu au paravant, de multiplier la fonction de densité de probabilité
par e−rft :

Ψμ,σ(St)=

e−rft

Stσ 2 πt

e−

(logSt−logS^0 −(rf−0,5σ^2 )t)

2

2 σ^2 t

On peut vérifier les deux conditions suivantes sur les facteurs d’actualisation stochasti-
ques :

∫

∞

0

Ψt(S)dS=e−rft et ∫

∞

0

StΨt(S)dS=S 0

La distribution risque neutre est définie par rapport aux états de la nature qui sont in-
duits par les prix. Les états de la nature sont les prix possibles en t années. Les réalisa-