Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

tions possibles des prix St dans l’intervalle [ 0 ,∞) ne dépendent que de l’actif considé-
ré à travers son prix courant S 0 et de son écart type σ. Il en résulte que deux titres dif-
férents, même avec des prix courants identiques, ne vont induire des probabilités ris-
que neutres différentes, que si leurs écarts type sont différents.

3.Evaluation d’une option call par application du théorème fondamental d’évalua-
tion des actifs

On se propose dans ce qui suit d’évaluer une option call européenne avec un prix
d’exercice E.

Par les facteurs d’actualisation stochastiques,

C= ∫

+∞

E

(S−E)Ψt(S)dS

ou encore par les probabilités risque neutre :

C= EQ(max(S−E; 0 ))e−rft

Dans la mesure où la valeur d’une option d’achat n’est strictement positive que lors-
qu’elle est en dedans, il est possible d’écrire que :

C= e−rft∫

+∞

E

(S−E)Φt(S)dS

C= e−rft∫

+∞

logE

(S−E)Φt(logS)dlogS

Pour effectuer des calculs en termes de taux de rendement, on écrit :

C= e−rft∫

+∞

logSE 0

(S−E)Φt(logE

S)

d(logE

S)

Ceci est équivalent à écrire que :

C= e−rft∫

+∞

logSE 0 (

S 0 elog

SS 0

−E)Φt(log

E

S)

d(log

E

S)