C= e−rftS 0 eμQt+0,5σ^2 tN
−logSE 0 +μQt+σ^2 t
σ t−e−rftEN−logSE 0 +μQt
σ tμQt =rft−0,5σ^2 t
On remplace μQ par sa valeur, il vient que :
EQ
(
St
S 0 )=EQ(ey)=eμQt+0,5σ^2 t= erft−0,5σ^2 t+0,5σ^2 t= erftC= e−rftS 0 erftN
−logSE 0 +rft−0,5σ^2 t+σ^2 t
σ t−e−rftEN−logSE 0 +rft−0,5σ^2 t
σ tC= S 0 N
logSE^0 +rft+0,5σ^2 t
σ t−e−rftENlogSE^0 +rft−0,5σ^2 t
σ tC= S 0 N(d 1 )−e−rftEN(d 2 )
avec
d 1 =
logSE^0 +rft+0,5σ^2 t
σ tet d 2 =logSE^0 +rft−0,5σ^2 t
σ tN(.) est la fonction de distribution normale cumulée.
N(d) =∫
d−∞e−x2
2
2 πdxExemple :