Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On considère le cadre d’analyse de Black-Scholes. On note par S(t) le
prix de l’action au temps t, t ≥ 0. On définit X(t) =Ln[S(t)].

(i) Monter que {X(t),t ≥ 0 } est un mouvement arithmétique Brownien.

(ii)Monter que Var[X(t+h)−X(t)] =σ^2 h, t ≥0, h≥ 0.

(iii) Monter que lim

n→∞

∞

∑

j= 1

X(jT

n)

−X

(

(j−^1 )T

n )

2

= σ^2 T

Solution :

(i){S(t)} suit un mouvement géométrique Brownien ceci implique que son

logarithme {X(t)} suit un mouvement arithmétique Brownien.

(ii) X(t) suit un mouvement arithmétique Brownien, son incrément

X(t+h)−X(t) est une variable aléatoire normale, sa variance est σ^2 h.

(iii)

dS(t)

S(t)

=μdt+σdZ(t), on prend l’intégrale des deux cotés de l’égalité:

avec {Z(t)} un mouvement géométrique Brownien standard et

μ =α−

1

2

σ^2

∫

t+h

t

dS(t)

S(t)

dh =∫

t+h

t

(μdt+σdZ(t))dh

LnS(t+h)−LnS(t) =μ(t+h−t)+σ(Z(t+h)−Z(t))

X(t) =LnS(t), on peut alors écrire que:

X(t+h)−X(t) =μ(t+h−t)+σ(Z(t+h)−Z(t))

[X(t+h)−X(t)]

(^2) =μ (^2) h (^2) − 2 μh
(Z(t+h)−Z(t))+σ^2 (Z(t+h)−Z(t))
2
Avec h = T
n
on a: