∞
∑
j= 1X(jT
n )−X
(
(j−^1 )T
n )2
=μ^2 T2
n^2− 2 μT
n∞
∑
j= 1Z(jT
n )−Z
(
(j−^1 )T
n )
Z(T)−Z( 0 )+
σ^2∞
∑j= 1 Z(jT
n)−Z
(
(j−^1 )T
n )2
= σ^2 TEn effet les deux premiers termes sont nuls lorsque n→∞ et la somme
du troisième terme est égale à T.
Il faut remarquer que la limite des sommes des termes stochastiques de-
vient déterministe. Ceci implique l’on peut calculer la volatilité σ par la varia-
tion quadratique du logarithme des prix de l’action pour n’importe quelle pé-
riode d’observation même pour les courtes périodes ceci bien entendu sous
l’hypothèse que le prix de l’action suit un mouvement géométrique Brow-
nien. Ceci explique aussi pourquoi le processus réel du prix de l’action et le
processus du prix risque neutre ont la même volatilité.
∞
∑j= 1 Z(jT
n )−Z
(
(j−^1 )T
n )=
[
Z(
T
n)−Z( 0 ))
]
+
[
Z(^2 T
n )−Z(T
n)]+
[
Z(^3 T
n )−Z(^2 T
n )]+...+
[
Z(T)−Z(
(n− 1 )T
n )]=Z(T)−Z( 0 )
La variation quadratique s’obtient aussi par l’application de la règle desmultiplications: [dZ(t)]^2 =dt, par conséquent: ∫
T0[dZ(t)](^2) =
∫
T
0
dt = T