Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Exemple :
On considère le cadre d’analyse de Black-Scholes, on donne les informa-
tions relatives à la variance et à la variance conditionnelle sachant S(t) du
prix de l’action au temps t.

(i)Montrer que Var[Ln(S(t)+h)∣ S(t)]=σ^2 h, h>0.

(ii) Montrer que Var[dS(t)

S(t)

∣ S(t)]=σ^2 dt

(iii) Montrer que Var[S(t+dt) ∣S(t)]= S(t)^2 σ^2 dt

Solution :

La solution de l’équation différentielle stochastique

dS(t)

S(t)

=αdt+σdZ(t)

est donnée par: S(t)=S( 0 )e(α−

(^12) σ (^2) )t+σZ(t)
de la même manière on peut déduire
que:
S(t+h) =S(t)e(α−
(^12) σ (^2) )h+σ[Z(t+h)−Z(t)]
, on sait que [Z(t+h)−Z(t)]a la même
distribution de probabilité que Z(h) qui suit une loi normale de moyenne 0 et
de variance h.
(i)Le logarithme de l’équation S(t+h) =S(t)e(α−
(^12) σ (^2) )h+σ[Z(t+h)−Z(t)]
montre
que étant connu S(t), le Ln(S(t)+h) suit une loi normale de moyenne
Ln(S(t))+(α−^1
2
σ^2 )h et de variance σ^2 h.
(ii) Var[
dS(t)
S(t)
∣ S(t)]=Var[αdt+σdZ(t) ∣S(t)]
= Var[αdt+σdZ(t) ∣Z(t)]
parce d’après les équations ci-dessus, connaître S(t) est équivalent à con-
naître Z(t).