Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Var[αdt+σdZ(t)∣ Z(t)]= Var[σdZ(t) ∣Z(t)] =σ^2 Var[dZ(t)∣ Z(t)]

= σ^2 Var[dZ(t)] pour des incréments indépendants.

σ^2 Var[dZ(t)]= σ^2 dt. On remarque que la variance conditionnelle est la

même que la variance non conditionnelle Var[dS(t)
S(t) ]

= σ^2 dt.

(iii) Ceci peut être déduit directement de la question (ii) parce que son

équation peut s’écrire aussi comme suit :Var[dS(t+dt) ∣S(t)] =S(t)^2 σ^2 dt.

Var[dS(t+dt) ∣S(t)] =Var[S(t+dt)−S(t)∣ S(t)] =Var[dS(t) ∣S(t)]

Var[dS(t) ∣S(t)]=Var[αS(t)dt+σS(t)dZ(t) ∣Z(t)]

= Var[σS(t)dZ(t)∣ Z(t)]= σ^2 S(t)^2 Var[dZ(t) ∣Z(t)] =σ^2 S(t)^2 dt.

Exemple :
On considère deux actifs qui ne payent pas de dividende X et Y. Il existe
une seule et unique source d’incertitude qui peut être décrite par un mouve-
ment Brownien standard {Z(t)}. Les prix de ces actifs satisfont les équations
différentielles suivantes:

dX(t)

X(t)

=0,07dt+0,12dZ(t) et

dY(t)

Y(t)

=Adt+BdZ(t)

avec A et B deux constantes. On donne aussi,
d[LnY(t)]= μdt+0,085dZ(t), le taux d’intérêt composé en continu est 4%.

Déterminer A.

Solution :
Si f(x) est une fonction deux fois différentiable d’une seule variable alors
par application du lemme d’Ito, on a: