Min
(ω 1 ,ω 2 ,...,ωi,...ωN)VC= P′ ×WC sous les contraintesX×WC⩾ C
La solution de ce problème donne les poids du portefeuille de réplication associé aux
cash flows C, WC et la valeur actuelle du projet d’investissement sera directement don-
née par le coût de ce même portefeuille, VC =P′ ×WC.
2.L’évaluation par les facteurs d’actualisation stochastiques
On considère les mêmes données que dans les exemples précédents. On part du prin-
cipe selon lequel le prix ou valeur actuelle d’une unité monétaire contingente à la réa-
lisation d’un état de la nature est égal à dj avec j = 1,2,...,S, on peut écrire alors les
prix courants de chacun des trois titres comme une combinaison linéaire de ses prix
futurs possibles pondérés par les prix des unités monétaires à recevoir dans le futur,
relatifs chacun des états de la nature.
Il en résulte que tous les titres seront composés des mêmes revenus élémentaires mais
en quantités différentes, selon les points de vue. Dans le mesure où chaque état a une
probabilité positive d’avoir lieu, les dj doivent être positifs. En effet, la chance d’avoir
1 dinar dans la période future suivante (non pas pour du certain) doit bien valoir quel-
que chose aujourd’hui.
Pour les trois titres on obtient le système d’équation suivant :
25 ×d 1 + 30 ×d 2 + 40 ×d 3 = 30
45 ×d 1 + 55 ×d 2 + 65 ×d 3 =52,
55 ×d 1 + 55 ×d 2 + 55 ×d 3 = 55
dj⩾ 0 j =1,2,Ce raisonnement suggère que si la loi du prix unique soi vérifiée, ce système admet
une solution unique. La solution doit correspondre aux valeurs d’aujourd’hui des re-
venus élémentaires des trois actifs purs. La résolution du système de trois d’équations
et trois inconnus donne la solution suivante: