Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

df(Y(t))=f′( Y(t))dY(t)+

1

2

f′′ ( Y(t))[dY(t)]^2 ; car

∂

∂t

f(x)= 0

Si f(x) =Lnx, alors f′( x)=

1

x

et f′′ ( x)=−[

1

X]

2

. Ainsi,

dLn(Y(t)) =^1

Y(t)

dY(t)+^1

2 [

−^1

[Y(t)]^2 ]

[dY(t)]^2

On sait que : dY(t) =Y(t)[Adt+BdZ(t)] et par application de la règle des

multiplication: [dY(t)]^2 = [Y(t)]^2 [B^2 dt]. On remplace dY(t) et [dY(t)]^2 par leurs

valeurs on obtient:

dLn(Y(t)) =^1

Y(t)

Y(t)[Adt+BdZ(t)]+^1

2 [

−^1

[Y(t)]^2 ]

[Y(t)]^2 [B^2 dt]

Après simplification, on obtient:

dLn(Y(t)) =(A− B

2

2

)dt+BdZ(t)

On sait que deux actifs qui ont la même source d'incertitude ont la même
ratio de Sharpe:

0,07−0,04

0,12

=

A−0,04

0,085

,

A=0,04+0,085×0,25 =0,06125

Exemple :
Soit {Z(t)} un mouvement Brownien standard. Monter lequel des proces-
sus suivants a un zéro drift.

(i) U(t)= 2 Z(t)− 2

(ii) V(t) =[Z(t)]^2 −t

(iii) W(t)=t^2 Z(t)− (^2) ∫
t
0
sZ(s)ds