Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

LE MODELE DE BLACK-SCHOLES-MERTON

On considère un marché constitué de trois actifs appartenant à des classes
différentes, une action un actif risqué S , une obligation d’Etat, un actif sans
risque B et une option call européenne sur action ne distribuant pas de divi-
dende C.

Le modèle de B&S relations entre les paramètres stochastiques de l’action
et de l’option

On représente respectivement les dynamiques de S et de C en fonction du
temps S(t) et C(t) par les différentielles stochastiques:

dS(t)= S(t)μSdt+S(t)σSdZS(t) =dS(t)= S(t)μSdt+S(t)σSεS dt

dC(t) =C(t)μCdt+C(t)σCdZC(t) =dC(t) =C(t)μCdt+C(t)σCεC dt

Par souci d’alléger l’écriture on laissera tomber l’argument du temps:

dS

S

=μSdt+σSεS dt

dC

C

= μCdt+σCεC dt

εS et εC suivent une loi normale standard N( 0 , 1 ).

La valeur du call au temps t est C(S(t),t)) et la valeur du cal au temps t+dt

est C(S(t+dt),t+dt)) qu’on peut écrire sous la forme allégée

C(S+dS,t+dt)).

Les expansions de Taylor donnent: