Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

On remarque que la volatilité de l’option est toujours supérieure à la volatilité

de l’action puisque dans le cas d’un call ΔC =

∂C

∂S

≥ 1 et

S

C

> 1.

σC= ΔC

S

C

σS

Cette quantité peut s’écrire sous la forme:

σC

σS

= ∂C

∂S

S

C

=

∂C

C

∂S

S

=

μCdt+σCεC dt

μSdt+σSεS dt

σC

σS

=

μCdt+σCεC dt

μSdt+σSεS dt

ceci est équivalent à écrire que

(μSσC−μCσS)dt+(σSσC(εS−εC)) dt =^0

Pour εS−εC ≈ 0 , on a :

μSσC−μCσS= 0 ou encore

μS

σS

=

μC

σC

on vérifie l’égalité des ratios de Sharpe à

l’équilibre.

L’argument de B&S

Les dynamiques pour l’obligation: dB(t) =B(t)rdt

Le prix de l’obligation est donné par la solution de l’équation différentielle:
B(t) =B( 0 )ert

∫

t

0

dB(t)

B(t)

=∫

t

0

rdt ⇔ LnB(t) =rt+cte ⇔ eLnB(t) = ertecte, on pose comme condi-

tion initiale, la valeur de l’obligation B( 0 ) au temps t = 0 avec B( 0 )= ecte, d’ou
il vient: B(t) =B( 0 )ert.

Le prix est déterministe avec une évolution exponentielle au cours du temps
et un taux sans risque composé en continu.