Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Les dynamiques pour l’action: dS(t)=S(t)μdt+S(t)σdZ(t)

Le prix de l’action suit une loi lognormale, ses dynamique sont décrites par
un mouvement géométrique Brownien toujours positif. La solution de l’équa-
tion différentielle est donnée par:

S(t) =S( 0 )e(μ−^12 σ^2 )t+σZ(t).

S(t) suit un mouvement géométrique brownien :

dS(t)= μS(t)dt+σS(t)dZ(t)

On peut résoudre cette équation de la manière suivante :

dS(t)= μS(t)dt+σS(t)dZ(t), S( 0 )= 1

Si f(x) est une fonction deux fois différentiable d’une seule variable alors par
application du lemme d’Ito, on a:

df(Y(t))=f′( Y(t))dY(t)+

1

2

f′′ ( Y(t))[dY(t)]^2 ; car

∂

∂t

f(x)= 0

On pose f(x)=lnx ceci implique que f′( x) =^1
x

et f′′ ( x)= −^1

x^2

d(LnS(t))=^1
S(t)

dS(t)+^1

2 (

−^1

S(t)]^2 )

[dS(t)]^2 dt

[dS(t)]^2 =S(t)[μdt+σdZ(t)]^2 = [S(t)]^2 σ^2 dt par application de la règle de multi-

plication.

On remplace [dS(t)]^2 par sa valeur pour obtenir:

dLnS(t) =^1
S(t)

dS(t)+^1

2 (

−^1

S(t)]^2 )

σ^2 [S(t)]^2 dt

dLnS(t) =^1
S(t) [

μS(t)dt+σS(t)dZ(t)]−^1

2

σ^2 dt