dLnS(t) =(μ−^1
2
σ^2 )dt+σdZ(t)On a supposé au départ que f(S(t))= LnS(t) pour revenir au prix du sous-ja-
cent,
On pose, X(t) =LnS(t)
dX(t) =(μ−
1
2
σ^2 )dt+σdZ(t)La solution pour X est donnée par,
X(t) =X( 0 )e(μ−
(^12) σ (^2) )t+σZ(t)
L’espérance mathématique est :
E(X(t))= X( 0 )eμt
Les propriétés du processus de Wiener dans l’équation décrivant un mouve-
ment géométrique brownien permettent de la simulation du prix du sous-ja-
cent, S(t) en un point spécifique du temps t, par la formule :
S(t) =S( 0 )e(μ−
(^12) σ (^2) )t+σε(t) t
ε(t)∼ N( 0 , 1 )
Pour obtenir les valeurs à tous les points du temps on utilise la formule
S(ti+ 1 ) =S(ti)e(μ−
(^12) σ (^2) )(ti+ 1 −ti)+σε(ti+ 1 ) ti+ 1 −ti
On considère une option call dont le prix est fonction de S(t) et du temps t,
C(S(t),t).
On applique le lemme d’Itô pour les dynamiques du prix du call:
dC(t) =
(
∂C
∂t+μS(t)∂C
∂S
+
1
2
σ^2 [S(t)]^2∂^2 C
∂S^2 )
dt+σS(t)∂C
∂S
dZ(t)