L’argument de Black-Scholes consiste à répliquer le revenu d’un titre en
fonction des deux autres titres par la constitution d’un portefeuille de réplica-
tion P autofinancé. On choisit par exemple de répliquer le prix d’une obliga-
tion sans risque par la combinaison linéaire des prix de l’action et du call
dans les proportions respectives Δ et β. Soit: P(t) =Δ(t)S(t)+β(t)C(t). Ce por-
tefeuille est constitué de façon à ce qu’il réplique l’obligation sans risque, il
doit donc être sans risque. Le rendement de ce portefeuille P doit avoir un
rendement égal au taux sans risque: dP(t) =P(t)rdt sinon des opportunités
d’arbitrage seraient possibles par la vente à découvert du titre qui a le rende-
ment le plus élevé et l’achat avec le produit de la vente du titre qui a le ren-
dement le plus élevé.
Au temps t, la valeur du portefeuille est P(t) =Δ(t)S(t)+β(t)C(t) et au temps
t+dt ce portefeuille vaudra P(t+dt) =Δ(t)S(t+dt)+β(t)C(t+dt) et comme
le portefeuille est autofinancé c’est-à-dire qu’il n’y aura ni prélèvement ni
ajout de fonds sa valeur au temps t+dt sera aussi égale à
P(t+dt)=Δ(t+dt)S(t+dt)+β(t+dt)C(t+dt). Ainsi on peut déduire que:
dP(t) =P(t+dt)−P(t) =Δ(t)S(t+dt)+β(t)C(t+dt)−(Δ(t)S(t)+β(t)C(t))
dP(t) =P(t+dt)−P(t) =Δ(t)(S(t+dt)−S(t))+β(t)(C(t+dt)−C(t))
dP(t) =Δ(t)dS(t)+β(t)dC(t)
On remplace dS(t) et dC(t) par leurs valeurs dans l’équation donnant dP(t):
dP(t)=Δ(t)[μS(t)dt+σS(t)dZ(t)]+β(t) (∂∂Ct +μS(t)∂∂CS +^12 σ^2 [S(t)]^2 ∂
(^2) C
∂S^2 )dt+σS(t)
∂C
∂SdZ(t)
Après réarrangement:
dP(t)=(Δ(t)μS(t)+β(t)∂∂Ct +β(t)μS(t)∂∂CS +β(t)^12 σ^2 [S(t)]^2 ∂
(^2) C
∂S^2 )dt+(Δ(t)σS(t)+β(t)σS(t)
∂C
∂S)dZ(t)