Gestion des Risques et Produits Dérivés avec Applications

Pour avoir un portefeuille sans risque on doit éliminer les termes en dZ. Ceci
est équivalent à écrire:

Δ(t)σS(t)+β(t)σS(t)∂C
∂S

= 0 , Δ(t)= −β(t)∂C

∂S

, on remplace Δ(t) par sa valeur:

dP(t) =
(

−β(t)∂C

∂S

μS(t)+β(t)∂C

∂t

+β(t)μS(t)∂C

∂S

+β(t)^1

2

σ^2 [S(t)]^2 ∂

(^2) C
∂S^2 )
dt
dP(t) =β(t)
(

∂C

∂t

+

1

2

σ^2 [S(t)]^2

∂^2 C

∂S^2 )

dt

Or, on sait que dP(t) =P(t)rdt et P(t) =Δ(t)S(t)+β(t)C(t)

On remplace Δ(t) par sa valeur en fonction de β(t) dans P(t) puis on rem-
place P(t) par sa valeur dans dP(t):

P(t)= Δ(t)S(t)+β(t)C(t)

P(t)= −β(t)∂C
∂S

S(t)+β(t)C(t)= β(t)(∂C

∂S

S(t)+C(t))

dP(t) =P(t)rdt

dP(t) =β(t)(−∂C
∂S

S(t)+C(t))rdt

En égalisant les deux équation en dP(t):

β(t)
(

∂C

∂t

+^1

2

σ^2 [S(t)]^2 ∂

(^2) C
∂S^2 )
dt = β(t)(−∂C
∂S
S(t)+C(t))rdt

∂C

∂t

+r ∂C

∂S

S(t)+^1

2

σ^2 [S(t)]^2 ∂

(^2) C
∂S^2
= rC(t)
On obtient l’équation différentielle partielle de Black-Scholes.